DSCF2561

220 6. Zmienne losowe jednowymiarowe

składnikami sumy są te prawdopodobieństwa P(X=x)_> dla których £(*) przyjmuj,, samą wartość równą y\.    j ■'    '

Rozkład zmiennej losowej Y przedstawia się w postaci tablicy następująco:

Tablica 6.4.3

1 *■<	yi	1 fi		j' i 1 M 1	M i
b,~P(Y=*y,)	i 5^	i |	U, ii :	I- 1 1 ■ ••	1*1' ^b”

gdzie wszystkie wartości y, (/= 1, 2,...) będą już tym razem różne. Przedstawioną wyżej metodę postępowania zilustrujemy następującym przykładem.

Przykład 6.4.1. Zmienna losowa X podlega rozkładowi danemu w tablicy 6.4.4.

Tablica 6.4.4

X	-3 |	-i | o i	| 2	3
pt=P(X=xd	p i=0,OS	p2 = 0,16 1 p3=0,2S I = 0,36 ]	>3=0,1	| />6“0,OS |

Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y=X².

Rozwiązanie. W rozważanym przykładzie zapis Y—X² ęznacza, że zmienna losowa f przyjmuje wartości y związane zależnością funkcyjną y—x² z wartościami x, które przyjmuje zmienna losowa X, tzn. że g(x)=x². Zależność tę przedstawiamy w postaci tablicy 6.4.5.

Tablica 6.4.5

1	-3 |	-1 |f 0 | 1	2	? PI ii
-	9	1 . . 0 | | 1	4	9
Pi	p, =0,08	l' pi=0,16 | />3 = 0,25 { ^4=0,36	Ps=0łl0	Pó=0,05

Zauważmy, że po skreśleniu pierwszego wiersza nie otrzymujemy jeszcze rozkładu zmiennej losowej Y, ponieważ wartości 9 i 1 powtarzają się w tej tablicy, a mianowicie: wartość 9 powtarza się dwa razy z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio /?, =0,08 oraz p₆=0,05, wartość 1 powtarza się dwa razy z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio y?₂=0,16 oraz p_A—0,36. Pozostałe wartości 0 i 4 występują tylko jeden raz. Przyj pominamy, że znaleźć rozkład zmiennej losowej skokowej, to znaczy określić, jakie ona przyjmuje wartości i z jakimi prawdopodobieństwami. Zauważamy więc, że zmienna losowa Y przyjmuje wartości 0, 1, 4, 9 z prawdopodobieństwami b_t = P(Y=0)=p₃=0,25, h₂4 = P(y=l)=/?2+/>4=0,16+0,36=0,52, b_z-P{Y=4)=p_s=0,\, 6₄-P(}'=9)=/?₁+pH =0,08+0,05=0,13.

j

I

Znaleziony rozkład przedstawiamy w tablicy 6.4.6.

Tablica 6.4.6

Y	pi	J! '	HZ	9
1 i	A’ 0,25	64-0,52	1 63*0,10	64*0,13

Przykład 6.4.2. Zmienna losowa skokowa X podlega rozkładowi danemu wzorem P(X=*ri)=2“" («= 1, 2, 3,...). Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej y=sin \kX.

Rozwiązanie. Zauważmy, że zmienna losowa Y przyjmuje następujące wartości: wartość 0, gdy zmienna losowa X przyjmuje wartości n—2k, wartość 1, gdy zmienna losowa X przyjmuje wartości /?=4A:-ł-1 i wartość — I, gdy zmienna losowa X przyjmuje wartości n—^k + 3, (k=0,1,2,...). Wyznaczmy teraz odpowiadające tym .wartościom prawdopodobieństwa :

p ( y§1) ==;r-^:3 -1- r^7 p 2*"^11 +.	..=*2‘^3(l-2"^4)«^
p(y=0)=2“^2-|-2"^4+2“^6 + ..	. = 2"^2(1 —2^_2)=“,
, p(Y = 1)=T^1 + T^s + 2"^9 +..	.=2-^1(1~2-^4)=Ą.

Otrzymany, rozkład podajemy w tablicy 6.4.7.

Tablica 6.4.7

_l1	-*• 1	0	1
1	1 I	a I	i -
I Pi 1	. m	■ n. |	13 1

Zauważmy, że zmienna losowa X przyjmowała przeliczalną liczbę wartości, natomiast zmienna losowa Y przyjmuje tylko skończoną liczbę wartości.

Niech X będzie zmienną losową ciągłą o gęstości prawdopodobieństwa/(x) i niech g(x) będzie funkcją ciągłą wraz ze swoją pochodną oraz ściśle monotoniczną w obszarze możliwych wartości zmiennej losowej X. Funkcję g(x) będącą wówczas, jak wiemy, również zmienną' losową, oznaczmy przez Y. Zauważmy, że funkcja y=g(x) posiada przy wymienionych założeniach różniczkowalną funkcję odwrotną *śs/r(y). Celem naszych dalszych rozważań będzie wyznaczenie gęstości prawdopodobieństwa /,(y) zmiennej losowej Y.

Rozważmy przypadek, gdy funkcja g(x) jest rosnąca.

Wtedy każdemu przedziałowi <x,x+zfx) odpowiada w sposób jednoznaczny przedział O, y-My) i dlatego

| P(x^X<x+/lx)=P(yśY<y+_/iy).

Oznaczając przez F(yc) i F_t(y) odpowiednio dystrybuanty zmiennych losowych A' i Y otrzymujemy:

F(x + zlx)-F(x) = F₁(y + zly)-F_l(.v).