DSCF2557

204 6. Zmienne losowe jednowymiarowe

§6.3. Pewne rozkłady zmiennej losowej ciągłej

Przykład 6.3.1. Zmienna losowa X podlega rozkładowi według gęstości danej wzo rem

/O    dla    x<0>

/(x) = Cx    dla    0<x<4,

P    dla    x>4.

1.    Obliczyć stałą C.

2.    Podać dystrybuantę.

—

3.    Obliczyć /»(1

Rozwiązanie. X. Stałą C obliczamy z zależności (6.1.7):

+ ao    0    4    +oo,    4

} f(x)dx= J 0dx+ j Cxdx + | 0dx = j Cxdx^C~x²\ =8C_%

-«    .    -ao    0.    4    0

8C=1, czyli    C=|.

Wykonujemy wykres gęstości    (rys. 6.3.1).

2. Wyznaczamy dystrybuantę:

Stąd

dla x«$0, dla 0<x^4,

dla

x>4.

Wykonujemy wykres dystrybuanty (rys. 6.3.2).

3. Szukane prawdopodobieństwo można obliczyć jako pole trapezu:

P(l<x<2)«K/(2)+/(l))-i(|+J)*Ą,

albo korzystając ze wzoru (6.1.8a). Otrzymujemy wówczas P(1«X<2).F(2>-F(l)«

Bk

Przykład 6.3.2. Zmienna losowa X podlega rozkładowi według gęstości danej wzorem:

jjO    dla    x<0,

/(x)»lcsinx    dla    0<x<ln,

(o    dla    x>| n.

1.    Obliczyć stałą C.

2.    Podać dyśtrybuantę.

3.    Obliczyć P(^n^X<,ln).

Rozwiązanie. 1. Stałą C obliczamy, jak poprzednio, z zależności (6.1.7):

n/3

j/(x)dx» | Csinxdx* —Ccosx|Q^/i« —C*! + C~‘C,

-CD    0

jC-l, czyli    Cm 2.

Wykonujemy wykres gęstości (rys. 6.3.3).

2. Dystrybuantę wyznaczamy następująco:

F(x)m J f(x)dxm J 2sinxdx» -2cosxr» -2cosx + 2.

— CD    0

Stąd

[0    dla    x<0,

F(x)« j2(l-cosx) dla 0<x<'ji.

1    dla    x>%    tt.

Wykonujemy wykres dystrybuanty (rys. 6.3.4).

3. Szukane prawdopodobieństwo obliczamy ze wzoru (6.1.8a):

n/4    ^:    ■    ■    ■

P(Jti<X<±71)* | 2sinxdx-~2cosx|$»-2-JV2 + 2'aV^3,*V³->/²'

it/fi

Przykład 6.3.3. Zmienna losowa X podlega rozkładowi według gęstości danej wzo-

0	dla	X<1
ln.v	dla	1 <x<a
0	dla	x>a

/(*)«