DSCF2560

218 6. Zmienne losowe jednowymiarowe

Rozkład Weibulla.

Definicja 6.3.9. Mówimy, że zmienna losowa X podlega rozkładowi Weibulla, jeżeli jej gęstość prawdopodobieństwa określona jest wzorem

dla x<0,

dla x>0, 2>0, p>0.

(6.3.11)

Wykres gęstości przedstawiono na rysunku 6.3.17.

Uogólniony rozkład gamma.

Definicja 6.3.10. Mówimy, że zmienna losowa X podlega tzw. uogólnionemu rozkla dowi gamma, jeżeli jej gęstość prawdopodobieństwa określona jest wzorem

(6.3.12)

Sprawdzimy, że J= | f(x)dx=l:

co

O

Po podstawieniu ):x^a=t otrzymujemy

CO

J =

o

t^a exp(—t)dt =

mmm

•r(p/a)=l.

Ciekawy jest fakt, że szczególnymi przypadkami podanego rozkładu są

H rozkład gamma, gdy

2.    rozkład Maxwella, gdy a=2 i p=3;

3.    rozkład Weibulla, gdy p=p

4.    rozkład Rayleigha, gdy p—a=2.

§ 6.4. Funkcje zmiennych losowych. Postawmy pytanie: czy funkcja zmiennej losowej I jest również zmienną losową? Odpowiedź daje następujące twierdzenie.

Twierdzenie 6 A A. Jeżeli X jest zmienną losową, a g(x) funkcją B-mierzalną, to Y=g(X) I jest również zmienną losową.

Uwaga. Funkcję g(x) nazywa się 5-mierzalną, jeśli określony przez nierówność I g(x)<y zbiór x-ów jest zbiorem borelowskim dla każdego y. W szczególności każda funkcja I ciągła jest ^-mierzalna.

Dowód. Funkcja g(x) nierównością g(x)<y określa z założenia zbiory borelowskie I I_x={— co, x) na osi Ox, a wobec tego określona jest różnica

^Ix_l-łx2=^Ix,x_i = <Xi,X₂),

jak również suma zbiorów tak określonych.

Jeżeli zmienna Y przyjmie wartość z przedziału (j>i, y₂), to faktowi temu odpowiada pewien zbiór x-ów, który da się skonstruować z wyżej wymienionych zbiorów borelowskich, przy czym zbiorowi temb odpowiada zdarzenie A_XlXi (zdarzenie polegające na tym, że zmienna losowa X przyjmie wartość z przedziału <*i> x₂)) należące do algebry S. Bpp^huantę zmiennej losowej Y=g(X) można wyznaczyć za pomocą dystrybuanty ź^jfheiJtoS-Owej X. a mianowicie jeśli x=h{y) przekształca dowolny przedział postaci (— co, y) w zbiór borełowski, który tu oznaczymy X~¹(I,), to

I F_L(y)=P(Y<y)=P(g(X)<y)=P(xeh(-oo, y))=P(xe.ST*(/,)) i podobnie

P(y_lśY<y₂) = P(y₁śg(.X)<y₂)=P(xeX-¹(I,_l,J).

Zajmiemy się teraz wyznaczeniem metody pozwalającej określić rozkład zmiennej losowej Y=g(X), gdy znany jest rozkład zmiennej losowej X. Rozważać będziemy oddzielnie dwa przypadki, mianowicie gdy zmienna losowa 2fjest typu skokowego oraz gdy zmienna losowa X jest typu ciągłego.

Niech X będzie zmienną losową skokową o rozkładzie P(X=x_k)=p_k, (k= 1, 2, 3,...). Dla ustalenia uwagi podamy ten rozkład w postaci tablicy 6.4.1.

Tablica 6.4.1

, ^x	jm	Xi j ... | 1 lip;;	X,
P(X=*xd	• P^i	Pł | | Pk |	pm 1 ||||g|

Niech g (*) będzie funkcją ciągłą określoną dla wartości x_k (k=\, 2,...). Przez Y oznaczmy zmienną losową otrzymaną w wyniku takiego przekształcenia. Jeżeli zmienna losowa X przyjmie wartość x_k, to zmienna losowa Y przyjmie wartość g(x_k)=y_k. Tę zależność przedstawiamy w tablicy 6.4.2.

Tablica 6.4.2

| *1 j x2	xk	1 X„
Y | yi=g(xi) \ y2=g(x2)|	yt=g(xk)	1 ym=g(x,d
P | Hj | Pi i	Pk II - 1 Pm

Zauważmy, że po skreśleniu pierwszego wiersza w powyższej tablicy otrzymalibyśmy rozkład Zmiennej losowej Y w przypadku, gdy wszystkie wartości y_k (&=1, 2, 3, ...) byłyby różne. Jeżeli pewne wartości y_k powtarzają się, na przykład wartość y_k powtarza się n, razy, wartość y₂ powtarza się n₂ razy,..., wartośćy_m odpowiednio n_m razy,..., to aby wyznaczyć P(Y=yi)=b_i, należy dodać te prawdopodobieństwa, które występują w trzecim wierszu tablicy 6.4.2 i odpowiadają wartościom zmiennej losowej T równym y_t, co zapisujemy symbolicznie

i>,= I P(X=Jt);

yi—oM