4531591929

2.2. Aproksymacja

Definicja 6. Mówimy, że ciąg funkcji {w_n}“_j C La/(fi, IR^iV) zbiega w modularze do w, jeśli istnieje stała A > 0 taka, że M ^^Wn(^x)~^w(^x) j dx —> 0. Przyjmujemy standardową notację

Poniższe stwierdzenia wskazują metody aproksymacji funkcji i ich pochodnych w anizotropowych przestrzeniach Orlicza w sensie zbieżności w modularze. Dowody są uogólnieniami na anizotropowe przestrzenie idei zaproponowanych przez Gosseza w [7].

Niech fi C R^d będzie ograniczony oraz supp(u) C fi.

Oznaczmy u^x(x) = u(Xx), u_y(x) = u(x — y),u$ = u* p^s; p^s - aproksymatywna jedynka, tzn. p^s(y) — jjp ^a P jest nieujemną funkcją o zwartym nośniku, której norma Li (fi) wynosi 1. Przyjmijmy N = dm.

Stwierdzenie 1. 1. Jeśli 2u G £//(R^d,R^m), to JqH(u^x(x) —u(x))dx —> 0, gdy X —» 1.

2. Jeśli u G Li(fi,R^m), 8G £1^/(M^rf,M^), to M(Vu^x(x) — Vu(x))dx —* 0, gdy X —> 1.

Stwierdzenie 2. 1. Jeśli 2u G £//(R^rf,R^m), to fę_iH(us(x) — u(x))dx —* 0, gdy S —> 0.

2. Jeśli u G Li(fi,R^m), 8Vu G £A/(K^d>E^^V)> to Jq M(Vu$(x) — Vu(x))dx —* 0, gdy 5 —> 0.

Stwierdzenie 3. 1. Jeśli 2u € £//(R^d,R^m), to H(u_y(x) — u(x))dx —* 0, gdy y —* 0.

2. Jeśli u € Li(fi,R^m), 8Vu € £A*(R^d,R^w), to f_n M(Vu_y(x) - Vu(x))dx —* 0, gdy y —> 0.

Lemat 2. Jeśli u G Li(R^d, R^m) oraz supp{u) C fi, to

/ |u^A(x) — u(x)\dx —> 0, gdy X —► 1.

Jn

Dowód. Niech p^e - aproksymatywna jedynka.

/ |«(Aa;) — u(x)\dx < Jn

/ \u^x(x) — (u^x * p^e)(x)\dx + / \(u^x * p^e)(x) — (u * p^e)(x)\dx + [ \(u * p^e)(x) — u(x)\dx = Jn    Jęi    J n

I + II + III.

Z podstawowych własności splotów wynika zbieżność III do zera przy e —> 0. Natomiast pozostałe dwie całki można łatwo oszacować. Na początek ustalmy e i przyjrzyjmy się wyrażeniu II.

11=    \ u^x(y)p^t(x - y)dy - / u(y)p^£(x - y)dy\dx

Jn \jR^d    JR^d    I

⁼LIL^u(v) i*^p‘ (^x -l) ■^p,(x -^iy\^dx 55 L (I ^Hmy) k (—!) -^p€(x - ^y)D *

< C(A) • |fi| • IMIi.

9