3582334063

2

2 PIERŚCIENIE GŁÓWNE

2 Pierścienie główne

Mówimy, że ciąg ideałów (/„) pierścienia P jest wstępąjący jeżeli

IiC I₂C ... C /* C ...

Dla dowolnego dągu wstępującego ideałów (/„) także ich mnogościowa suma U," ' A» jest ideałem. Rzeczywiście, jeśli a.b € /. wówczas istnieją i.j € N takie, że a € fi, b € />. Bez straty pgólnoći można założyć, że i <j. Wówczas a.b € /j i a - b ę l₃ a stad oczywiście wynika, że a - b € /. Dla dowolnego a € P (i przy założeniu, że jak poprzednio, a € A) € A a więc aa € /.

Twierdzenie 2.1 W pierścieniu głównym P kaziły wstępujący ciąg ideałów h Che ...C/fcC... jiesf stacjonarny, tzn. istnieje ką € N takie, że

ho = Ato+1 = •••

Największym wspólnym dzielnikiem elementów' a i b pierścienia całkowitego P nazywamy element d € P spełniający warunek:

d|a, d\b oraz dla każdego c € P : c|a,c|6 => c\d

Największy wspólny dzielnik elementów a i 6 oznaczamy przez N\VD(«. b) lub przez (a.fc).

Jeżeli największym wspólnym dzielnikiem elementów a i 6 jest jedynki pierścienia (inaczej: jeżeli {a.b) = 1), wówczas mówimy, że a i b są względnie pierwsze. Wówczas jedynymi wspólnymi dzielnikami a i 6 są 1 i elementy stowarzyszone z 1 (a więc, elementy odwracalne pierścienia). Zamiast pisać (a. 6) = 1 często piszemy alb.

W pierścieniach głównych największy wspólny dzielnik dwóch elementów zawsze istnieje i można go zapisać w specjalnej postaci. Twierdzenie które o tym mówi nazwiemy twierdzeniem o NWD w pierścieniu głównym.

Twierdzenie 2.2 Każde dwa elementy a.b pierścienia głównego P mają największy wspólny dzielnik d € P który jest ich kombinacją liniową, tzn. istnieją s.t ęP takie, że

d = sa + tb

Dowód. ...

Jeżeli największym wspólnym dzielnikiem elementów a i 6 jest jedynka pierścienia (inaczej: jeżeli (a.b)    1). wówczas mówimy, że a i b są względnie

pierwsze. Wówczas jedynymi wspólnymi dzielnikami a i 6 są 1 i elementy stowarzyszone z 1 (a więc. elementy odwracalne pierścienia). Zamiast pisać (a. b) = 1 często piszemy a 16 (podobnie jak to robiliśmy dla liczb całkowitych).

Wniosek 2.3 W dowolnym pierścieniu całkowitym i głównym

(a. 6) = 1 <=> 3a. 3 € P : aa + 3b = 1