1935182605

16

SPIS TREŚCI

Przykład, 0.3.4 Zbadamy zbieżność szeregu

Pokażemy, że ciąg e„ jest rosnący:

'⁼(¹⁺# ⁼ t®* ^{= 1+1+}t*ⁿ~^lh^~^k+1)

=₂₊ź¹⁽¹-"^>'_t;⁽¹-^¥>^₂₊E¹⁽¹-^^T)t;'⁽¹-^feł>

(n + l)!

Ograniczoność z góry wynika następująco:

^=₂+E-

i(i -

kl

Al A-l 11

S² + Et!^£2+E2^S₂+2l—1 =2 + 1 = 3.

Korzystając z poprzedniego twierdzenia wnosimy, ze granica ciągu e_n istnieje:

Przykład 0.3.5 Niech a_n = dla n € N. Oczywiście nasz ciąg jest ograniczony z dołu 1 <a_n. Pokażemy, że jest malejący od pewnego miejsca. Ciąg jest malejący, gdy n > no G N to a_n+1 < a_n a więc

'n+l < Sfń. <—>( ~*Vn + 1)"!“⁺¹) < (</S)”<”⁺¹> <—> (n+l)” < n"⁺¹

/n+ 1\	^n	( 1\	^n
—	<n<-	-> 1 + -	< n,
\ n J		\ n)

więc jeśli n> 3 to

<3 < n

a stąd mamy

a_n+i = "Vn +1 < \/n = a„, dla n > 3.

Na podwtawie twierdzenia o zbieżności ciągu ograniczonego i monotonicznego, wnioskujemy, że nasz ciąg (a„)“, jest zbieżny.