42370 MATEMATYKA044

PRZYKŁAD 2.7 Zbadamy zbieżność szeregów:

,2ml

2. Sźinrgt liczbowe

81

«>»-»>

2"

-2"

a) Szeregi    oraz

2ⁿ+5ⁿ * są jednocześnie zbieżne lub

jednocześnie rozbieżne. Ponieważ drugi z łych szeregów jest zbieżny (przykl. 2.6 a), więc badany szereg jest również zbieżny.

n°

b)    Ponieważ (-!)" = 1, a szereg £--j jest rozbieżny (przykl 2.6 b), więc badany szereg jest rozbieżny.

c) Ponieważ y(-l)^2o4l~-^—sY—— i £—-— jesi zbieżny (przykl. 2.6 c), więc badany szereg jest również zbieżny. ■

SZEREG NAPRZEMIENNY. Szereg liczbowy postaci Z(-l)" ^a„ = -a,+aj-a₃+-,

n=l

gdzie a_n > 0 dla n eN, nazywamy szeregiem naprzemiennym (przemiennym).

Na przykład szeregi

^vn‘^!n e i —y. 4- ł—...    >i— , _

V 3 9 27

n i

są szeregami naprzemiennymi.

KRYTERIUM LEIBNIZA. Jeżeli dla szeregu naprzemiennego £(- I)”a_n spełnione są warunki:

1) lim a_n = 0,    2) ciąg (a_n) jest malejący.

2(~ir‘n-1-2+3-

o I

to szereg ten jest zbieżny.

Uwaga I Jeżeli wanuick I) nie jest spełniony, to szereg naprzemienny jesi rozbieżny, gdyż nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu.

Uwag a 2. Kryterium Leibniza nie rozstrzyga, czy szereg naprzemienny jesi zbieżny czy rozbieżny, gdy ciąg <a_n) nie jest malejący (zob. przykład 2.9).

PRZYKŁAD 2.8 Zbadamy zbieżność szeregów.

•'    •> *-*•&.« £<-■»■ jfc

Każdy z tych szeregów jest szeregiem naprzemiennym, gdyż kolt pic wyrazy- tych szeregów mają przeciwne znaki.

a) Ponieważ lim l/n **0 i ciąg (l/n) jest malejący, więc zgod-

n-»»

mc z kryterium Leibniza badany szereg jest zbieżny

1

i

b) Ponieważ lim _T—rr-t—J-O ora2 ciąg (, ,

n-»oc log(ll +1) \»'    10g( 11 +1)

it) jest

nitilcjący (ze wzrostem n mianownik rośnie), więc z kryterium Leibniza "\mka, żc badany szereg jest zbieżny.

c) Łatwo widać, żc lim -*!— = 0. Abv sprawdzić. czv ciąg n->«_n²+3

) jest malejący badamy różnicę a_a+1 -a_r. Ponieważ

n + 1

ir +3

*    a -    ^{11 + 2}

^an+1 --

n + 1

3n + 2

(n + 1)²+3 n² i 3 (n² +2n-4)(n² + 3)

<0. neN,

więc ciąg (a_n) jest malejący. 2 kryterium Leibniza wynika, że badany t/creg jest zbieżny.

d) lim r-ⁿ -^*0. Zatem ciąg ((-!)" - ⁿ-r) wyrazów tego

n~p«o+n t i z    żii + i

s/eregu nic ma granicy. Badany szereg jest rozbieżny, gdyż mc jest spełniony warunek konieczny zbieżności szeregu.    ■

SZEREGI O WYRAZACH DOWOLNYCH. ZBIEŻNOŚĆ BEZWZGLĘDNA I WARUNKOWA Sformułowane poprzednio kryteria zbieżności i rozbieżności mają zastosowanie do badania zbiożno-wi szeregów, których wyrazy mają stały znak (kryt. porównawcze, kryt. ( .mchy'ego, kryt d^rAlembcrta) lub szeregów naprzemiennych (kryt. I/oib-nizn). Obecnie poznamy twierdzenia, które można stosować przy badaniu . luczności szeregów o zupełnie dowolnych wyrazach rzeczywistych (a także zespolonych, o czym będziemy mówić w następnym paragrafie).

■■■■■■■■■■■■■■■■■i