egzamin matematyka

00

Zestaw 7

a) Podać twierdzenia Abela o zbieżności całki Jf(x)g(x)dx i o

a

■•'zbieżności szeregu ^a_kb_k .

k=l

b) Podać rozwinięcie Taylora dla funkcji ln(l+x²) o środku w punkcie O i określić promień zbieżności.    V

Zestaw 8

a)

b)

Twierdzenie o różniczkowaniu i całkowaniu szeregu potęgowego o dodatnim promieniu zbieżności.

Określić sumy szeregów potęgowych :

o°    oo    k-l

£*(*-.£*-77-

4=2    k=1    K-

4+1

4=1

k(k + l)

, oraz podać odpowiednie

zakresy zmienności dla x.

Zestaw 9

^ a) Jednostajna zbieżność ciągów funkcyjnych : definicja i twierdzenia, b) Wyznaczyć granice ciągów funkcyjnych :

lim sin

k—>co

;przy jx|<a-<co , limke ; przy x>l .

^{1 1}    k-:=0 J

Uzasadnić jednostajną zbieżność powyższych ciągów.

Zestaw 10

V

Ja) Podać twierdzenia o różniczkowaniu i całkowaniu granicy ciągu funkcji, b) Uzasadnić zbieżności szeregów liczbowych :

I

1 *

1    , ~-k

4=1

~^₂ k(h\ky

Zestaw 11    ^

i/a) Podać wzory : na prawdopodobieństwo całkowite (albo zupełne) , wzór Bayesa - wraz z założeniami. Opisać schemat Bemoulliego . Co to jest dyskretna przestrzeń probabilistyczna - podać przykład?/ b) Wadliwość produkcji wynosi 3% . Z puli produktów losowana jest próba n elementowa. Przez A_n oznaczamy zdarzenia losowe, że w próbie znajdują się przynajmniej 2 sztuki wadliwe .

Określić P(A_n ) .

Zestaw 12

a) Podać opis rozkładu dyskretnego jednej zmiennej losowej .

; reR, określić :

b) Dla zmiennej X losowej o gęstości f(r):=~e~

E(X), JifF), P({pj+3V4r²)» .