egzamin matematyka2

Zestaw 1

i/a) Podać twierdzenia określające warunki wystarczające dla różniczkowalności w punkcie funkcji wielu zmiennych, b) Określić pochodne :

d²

—-e^/w ; gdy f jest dwukrotnie różniczkowalna, dx

^ud_xd₂x^X2 ;gdy x,>0 , i=l,2.

Zestaw 2

V a) Podać twierdzenie Lagrange’a o przyrostach funkcji rózniczkowalnych

dla funkcji jednej i wielu zmiennych.

b) Wyznaczyć granice :

^sin(||x||)    ₂    ..

/lim-— ; gdzie 0<a<l , xeR , oznacza normę wektora,

\\_x\\^a 11 11

t/ limx~“ lnx ; gdzie a>0 .

*-»cO

Zestaw 3

\J a) Podać listę własności dla pojedynczych całek Riemanna. b) Wyznaczyć wartości całek :

«j]sin x\dx , jxe~^x dx , |x|l - x\dx .

-TC    o    o

Zestaw 4

a)    Sformułować odpowiednie twierdzenie dotyczące pochodnych :

^ jf(x)dx , ~ jf (x)dx .

co

b)    Wyznaczyć wartość całki jxe~^xdx .

0

CO

Uzasadnić zbieżność całki J(1 + x^a) ^Xdx , gdy a>l .

o

Zestaw 5

a)    Odwzorowanie 0:R² —> R² jest zadane formułą 0(x):=Ax+b . gdzie detA?M3 , beR². Określić pole obrazu ®(P) , gdzie P:=[ai,bi]x[a2,b2] .

b)    Wyznaczyć rozwinięcie funkcji sin(xi+X2) według potęg zmiennych do wyrazów stopnia 2 włącznie , środkiem rozwinięcia jest punkt (0,0).

Zestaw 6

v/ a) Rachowanie całki Riemanna po kole. b) Wyznaczyć całkę Jx₂sin(x₁)4x ; P:=[-l,l] x[-l,l] .

p

Wyznaczyć objętość bryły D:={xeR³: (xi,X2) eP , l+xi<X3 <3+x₂ } ,

P jest wyżej określonym kwadratem.