egzamin matma

ZADANIA

1)    (3p+5p) Podać twierdzenie Kroneckera - Capellego i rozwiązać układ równań:

- x - y - z-l = -1

2x + 2y + z + i = 0 3x + 2y + 3z + 2t = 3 6x + 4y + 3z + 2/ = 2

2)    (8p) Wypisać równania wszystkich płaszczyzn jednakowo oddalonych od wierzchołków czworościanu wyznaczonego przez płaszczyzny układu współrzędnych i przez płaszczyznę o równaniu x + y + z = 4.

3)    (8p) Na sferze S : x" + y¹ + z² =676 znaleźć punkty, w których płaszczyzna styczna jest równoległa do płaszczyzny — 3x + \ 2y - 4z = 0.

4)    (3p+5p)) Podać definicję ekstremów lokalnych funkcji i wyznaczyć ekstrema lokalne funkcji f(x,y) = 3 + y]2x² +3y² (narysować wykres tej funkcji).

5) (4p+4p)

a)    Znaleźć całkę ogólną równania różniczkowego y^(Ą) - 6/"+13/'= 0.

b)    Metodą przewidywań przewidzieć (nic wyznaczając stałych ) całkę szczególną równania y^<4) -6/"+13y= 2x^} -e^2x cos3x.

TEORIA

1)    (4p) Za pomocą całki podwójnej obliczyć pole obszaru ograniczonego liniami y² =4 + x, x + 3y = 0.

2)    (8p) Obliczyć objętość bryły ograniczonej powierzchniami z = 6-x² -y², z- -Jx² + y² dwoma sposobami, za pomocą całki podwójnej i potrójnej.

3)    (4p) Obliczyć pole powierzchni walcowej z = x² odciętej płaszezj^nami y = 2x, y = 3.v, xmfi.

4)    (4p) Całkę JJjzdbafydź, gdzie V = {(x,y,z): x² + (y - 2)² + z² ^ 4, z < 0} sprowadzić do

v

całki pojedynczej.

Uwaga. Zadania i teoria to dwie osobne prace.