2500336022

Lista trzecia - Dowolne układy równań liniowych, twierdzenie Kroneckera-Capellego i wzory Cramera.

Wyznaczanie rzędu macierzy, badanie istnienia i jednoznaczności rozwiązania układu równań liniowych za pomocą twierdzenia Kroneckera-Capellego, rozwiązywanie dowolnych układów rónań liniowych, wzory Cramera dla układów z macierzą nieosobliwą.

Pytania

1.    Jakie elementarne przekształcenia nie zmieniają rzędu macierzy? Czy przestawienie dwóch wierszy w macierzy zmieni jej rząd? Podać definicję rzędu macierzy.

2.    Czy prawdziwe jest następujące zdanie: Rząd kwadratowej macierz przekątniowej jest równy liczbie niezerowych elementów na jej głównej przekątnej?

3.    Jak brzmi twierdzenie Kroneckera-Capellego?

4.    Kiedy układ n równań liniowych jednorodnych z n niewiadomymi ma niezerowe rozwiązanie?

5.    Jaki rząd ma macierz nieosobliwą stopnia n? Czy rozwiązanie układu równań liniowych z macierzą nieosobliwą jest jednoznaczne?

6.    Kiedy układ równań liniowych niejednorodnych ma jednoznaczne rozwiązanie?

7.    Czy każdy układ m równań liniowych z n niewiadomymi ma rozwiązanie, jeśli macierz układu ma rząd m? A jaki wniosek otrzymuje się dla układu, którego macierz ma rząd n?

8.    Kiedy można stosować wzory Cramera do rozwiązania układu równań liniowych?

9.    Niech A będzie macierzą stopnia n. Czy są równoważne następujące stwierdzenia:

(a)    istnieje A^-1,

(b)    A jest nieosobliwą,

(c)    A ma rząd n,

(d)    układ równań liniowych jednorodnych AX = 0 ma tylko zerowe rozwiązanie.

Lista trzecia - Zadania podstawowe Zadanie 3.1

(a)    Podać przykłady macierzy prostokątnych, które mają rząd równy 2.

(b)    ([1], str. 211) Wyznaczyć rząd macierzy

4 5 1 3 3 2

	1	4	5 '
• B =	2	1	3
	-1 3		2
	-i 0		1

1

2

-1

Czy elementarne przekształcenia (jakie?) mogą ułatwić wyznaczenie rzędu macierzy?

17