2500336017

Lista druga - Macierze odwrotne, układy równań liniowych i eliminacja Gaussa.

Wyznaczanie macierzy odwrotnych za pomocą dopełnień algberaicznych, zastosowanie macierzy odwrotnych do rozwiązywania układów równań łiniowych, układy róumań łiniowych z macierzą trójkątną, rozwiązywanie układów róumań liniowych za pomocą eliminacji Gaussa.

Pytania

1.    Co to jest dopełnienie algebraiczne elementu macierzy?

2.    Jak można za pomocą dopełnień algebraicznych zapisać wzór na rozwinięcie Laplace‘a wyznacznika?

3.    Jak można wyznaczyć macierz odwrotną za pomocą dopełnień algebraicznych, a jak za pomocą rozwiązywania odpowiednich układów równań liniowych?

4.    Jaki jest związek między wyznacznikiem macierzy nieosobliwej A i wyznacznikiem macierzy odwrotnej A^-1?

5.    Jak można rozwiązać się układ równań liniowych AX = B z macierzą trójkątną A, której wszystkie elementy na głównej przekątnej są niezerowe?

6.    Za pomocą jakiego przekształcenia elementarnego można wyzerować element macierzy na pozycji (2,1)? Które elementy macierzy ulegną zmianie po tym przekształceniu?

7.    Kiedy w trakcie eliminacji Gaussa powinno się przestawić dwa wiersze? Podać przykład ilustrujący odpowiedź.

8.    Jaki zmieni się macierz układu równań liniowych, jeśli zmienimy numerację niewiadomych, na przykład przestawimy pierwszą niewiadomą z drugą?

Lista druga - zadania podstawowe

Zadanie 2.1

(a)    Wykazać, że (A~^l)^T = (A^T)~¹, korzystając z definicji macierzy odwrotnej i własności transponowania macierzy.

(b)    Niech A będzie macierzą symetryczną nieosobliwą. Czy macierz odwrotna A~^l też będzie symetryczna? Jak to uzasadnić?

Zadanie 2.2

([16], str. 113) Obliczyć

[ 17    -6 i⁵

[ 35 -12 J ’

korzystając z zależności

[ 17    ~⁶ 1 _ [ ^2    3 1 [ ²    ° 1 [ -7    3 1

[ 35    -12 J ^- [ 5    7 J [ 0    3 J [ 5    -2 J    '

Wskazówka. Zauważyć, że z prawej strony równości macierz występująca na prawo od macierzy przekątniowej jest odwrotnością macierzy występującej na lewo od przekątniowej. Skorzystać z łączności mnożenia macierzy.

12