DSC07339

96 Układy równań liniowych

b)    Niemożliwe jest wyznaczenie cen jednostkowych poszczególnych produktów na podstawie podanych informacji. Układ równań opisujący te cztery niewiadome nie ma jednoznacznego rozwiązania. Rząd macierzy układu pierwszych trzech równań jest oczywiście mniejszy od 4, zaś dodanie czwartego liniowo zależnego równania nie podwyższa tego rzędu do 4.

c)    Geny jednostkowe poszczególnych produktów moglibyśmy wyznaczyć z układu równań o macierzy rzędu 4, np. z układu Cramera. Rząd macierzy układu trzech równań napisanych na początku jest równy

[2 2 10 31			0 -2 -30	1 j
1 2 20 1	= n		1 2 20	Hfl
.3 1 5 2.	wj — 3u)q		0 -5 -55	-i

co zresztą można już było wcześniej wywnioskować na podstawie rachunku przeprowadzonego w punkcie a). Zakup, jakiego powinniśmy dokonać, musiałby się więc składać z ki kostek masła, ką bochenków chleba, kj jaj i k,j litrów mleka, gdzie ki > 1, kz ^ 1, ki ^ 1, k*4 ^ 1. przy czym musi być spełniony warunek

2	2:	10	3
1	■M	20
3		5	4
ki	Az	k3	k4

Warunek ten spełniony jest np. dla ki = 6, ka = 5, ka = 35, k4 = 1. d) Do początkowego układu trzech równań dołączamy czwarte równanie

x + y + x + t = 3,6.

Rozwiązujemy otrzymany układ czterech równań (metodą „kolumn jednostkowych")

2 2 10 3	9.5 ‘		H 8 1 Cl 1 O	-6.9 ‘
1 2 20 1	8.2	»i ~2«2	1 2 20 1	8.2
3 15 2	8.9	•3 “3=2 =4-	0 -5 -55 -1	-15.7
.1111	3.6		.0 -1 -19 0	-4.6.

0	-2	-30 1	-6.9 ‘
1	4	50 0	15.1
0	—7	-85 0	-22.6
.0	1	19 0	4.6.

Wi +2 ia₄ U2 — 4(04 ws + 7u»4

	’0 0	8 1	Z3'
	1 0	-26 0	-3.3	103 : 48
	0 0	48 0	9.6
	.0 1	19 0	4.6 r
	0 0	81	2.3’		o o	0	1	0.7'
	1 0	-26 0	-3.3	Wi - 8u»3	1 0	0	0	1.9
—t"	0 0	1 0	0.2	u*2 + afiłua —» lł»4 — 10103	0 0	1	0	0.2
	.0 1	19 0	4.6.		0 1	0	0	0.8

Stąd wynika, że czwarty zakup ki = ka = ki = A** = 1 czyni zadość warunkowi z punktu c) i pozwala na wyznaczenie cen jednostkowych (w złotych), które są równe x = 1.9, y = 0.8, x = 0.211 == 0;7«

Metody rozwiązywania układów Cramera

• Przykład 4.13

Rozwiązać podane układy Cramera metodą eliminacji Gaussa:

x + 5y = 2 f -3x -ł- 6y = 15 ¹

a)

( x — 2y + 3z =s -7 ' b) < 3x + y + \z = 5 ; [ 2x + 5y + z = 18

x + 2y —    3z    =0

4x + 8y —    7x -f    t    =    1

x + 2y —    x +    t    =    1 '

-x + y +    4z +    6t    =    0

x + 4y    +    2z    — a    =    3

2x + 9y    +    6z    - 2s -    3f    =    5

x + 2y    -    z    - a +    5*    =    5

—2x - 7y    +    z    + 3s -    4t    = -5

—x — 5y    -    z    + 3a +    0t    =    4

Rozwiązanie

Metoda eliminacji Gaussa dla układu Cramera postaci AX = £ polega na rozwiązaniu tego układu poprzez doprowadzenie jego macierzy rozszerzonej \A\B\ do postaci [7|,Y], gdzie / oznacza macierz jednostkową. Przy przekształceniach stosuje się operacje elementarne na wierszach macierzy rozszerzonej, co schematycznie można przedstawić następują

[A\B\    —> [I\X].

Ponieważ wszystkie wykonywane operacje przekształcają układ równań na układ mu równoważny, więc wektor X pojawiający się przy końcu postępowania jest szukanym rozwiązaniem układu. Kolejność operacji przy rozwiązywaniu naszych przykładów będzie zgodna z algorytmem Gaussa sprowadzenia macierzy nieosobliwej do macierzy jednostkowej.

a) Przekształcamy macierz rozszerzoną danego układu równań otrzymując

r i 5121	1 5	2'		1 0	-3
[o 211 21 J ^102131 ’	^0 1	1	uii “ 8u« —♦	0 1	1

Ostatni zapis oznacza, że

f l-x + 0-y = -3 |0-x + l-y= 1 ’

zatem x = —3, y == 1.

b) Podobnie rozwiązujemy układ z trzema niewiadomymi

'1	-2	3	-7‘			' l	-2 3		-7’		’1	-2	3 5	—7* 26
3 ,2	5	4 l	5 18	— 3u»i u>3 - 2u»i		0 .0	7 -5 9 -5	26 i T —♦ 32.			0 .0	l 9	“7 -5	7 32
						' 1	-2	t	-7”
							i		26
						0	^1 7		7	u,: if -
							I 10		10
						0	^0 I		“ 7 .