DSC07335

88 Układy równań liniowych

88 Układy równań liniowych

obliczyć ich rzędy:

' 1	3	0		2	3	4	5	6	7
4	5	7	; b)	8	7	6	5	4	3
1	-1	4		12	13	14	15	16	17
2	4	2		18	17	16	15	14	13

Rozwiązanie

Wykorzystamy twierdzenie mówiące, że bez zmiany rzędu macierzy można w niej zamieniać wiersze (kolumny), mnożyć ustalony wiersz (kolumnę) przez stałą różną od zera oraz do ustalonego wiersza (kolumny) dodać inny wiersz (kolumnę) pomnożony przez stalą. Ponadto rząd macierzy nie ulegnie zmianie, jeśli skreślimy w niej wiersz (kolumnę) złożoną z samych zer lub też jeden z dwóch wierszy (kolumn) równych lub proporcjonalnych. Również transponowanie macierzy nic wpływa na jej rząd. Badaną macierz będziemy więc przekształcać bez zmiany jej rzędu do postaci, z której ten rząd można łatwo odczytać, np. z postaci trójkątnej lub blokowej, z dużą liczbą zer oraz jak najmniejszego wymiaru.

a) W tym przypadku zastosujemy fragment algorytmu Gaussa otrzymując:

	1 3 0* 4 5 7	"2	1 3 0' 0-7 7			1 3	0
rz	1    -1 4 2    4 2	•j - [ — rz ■4-2*!	0-4 4 0 -2 2.	5 — rz *V4= f		0 -7	7

Zauważmy, że wynik uzyskaliśmy szybciej doprowadzając pierwszy wiersz do postaci [1001 P^ez wykonanie operacji hj — 3ki-

b) Wykorzystamy prawidłowość w ułożeniu elementów macierzy. Łatwo zauważyć, że wiersze macierzy złożone są z kolejnych liczb naturalnych, przy czym w wierszach nieparzystych tworzą one ciągi rosnące, a w parzystych malejące. Dlatego też sumy sąsiednich wierszy są ciągami stałymi. Dzięki temu można szybko obliczyć, że

2	3	4	5	6	T			’ 2	3	4	5	6	7
8	7	6	5	4	3	■* + ■*	= rz	10	10	10	10	10	10		2u>3
12	13	14	15	16	17	»j + *3 *3 + *1		20	20	20	20	20	20		3u.'3
18	17	16	15	14	13			30	30	30	30	30	30.

2	3	4 5 6 7
10	10	10 10 10 10

= 2.

• Przykład 4.7

Sprowadzając podane macierze do postaci schodkowej wyznaczyć ich rzędy:

3	1	2	-i 7‘		1 1 1 —1	2 4	4* 5
0	1	0	2 1			2	-2
3	2	2	1 8	; b)	2	2	7
o	1	1	5 4		0	2	4 1
1-3	-1	-1	4 2	1	1	-4	i

Rozwiązanie

Macierz nazywamy schodkową, gdy pierwsze blezerowe elementy (tzw. schodki) w kolejnych niezdrowych wierszach znajdują się w kolumnach o rosnący di numerach. Rząd

macierzy schodkowej jest równy liczbie jej schodków. Dokonując podanych niżej operacji elementarnych na wierszach macierzy otrzymamy:

•)	‘ 3	1	2	-1 7
	0	1	0	2 1
rz	3	2	2	1 8
	0	1	1	5 4
	-3	-1	-1	4 2

- »i

U»b + U»1

= rz

= rz

3 12-17 0 10 2 1 0 10 0 1 l 0 0 l 3 1 2 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 1

2 1 5 4 3 9

-1 7 2 1 0 0 3 3 3 9

oj - «a 04 - oj

oj - W*

=4.

b)

1	2	4'			'l	2	4'
1	4	5			0	2	1
-1	2	-2	OJ - »1 UJ + Ol	= rz	0	4	2
2	2	7	*4 - 2«i		0	-2	-1
0	2	4	•a + 01		0	2	4
-1	-4	4			0	-2	8

oj-3oj 04+03 oj ^— oj O# +**2

• Przykład 4.8

Wyznaczyć rzędy podanych macierzy w zależności od parametru rzeczywistego p:

1 P r		1 p 1 1		git-p 2 1 p'
3 0 2	; b)	2 2 p-i	; c)	1 2-p 1 0
p -p 1		p + 2 3 p		1 2 i-pp

Rozwiązanie

a) Minorem najwyższego stopnia dla danej macierzy jest jej wyznacznik równy

= rz

i 2 4*		1 2	4'
0 2 1		"Ó[2	1
0 0 0		0 0	0
0 0 0	04 — Soj — rz	0 0	0
0 0 3		0 0	3
0 0 9		0 0	0

= 3.

2p(p-2).

1 P 1 3    0    2

P -P 1

Rząd tej macierzy jest więc równy 3 wtedy, gdy 2p(p - 2) ^ 0, tzn. dla p # 0 i p f 2. Dla p = 0 mamy

n	P	1 ■		' i	0	1 '
rz 3	0	2	= rz	3	0	2
Lp	-p	1.		.0	0	1

=s rz		1 1 3 2
		0 1