DSC07337

92 Układy równań liniowych

92 Układy równań liniowych

d) Równanie ze współczynnikiem 1 przy zmiennej * znów dla wygody dajemy na początek i przekształcamy macierz rozszerzoną układu

1-2 1 2	-1'		’ l -2 1 2	-1'
0 113	0	■i - i«i —.	0 113	0
2 1-1-3	2	■i - i»i	0 5-3-7	4
2 3 13	1.		.0 7-1-1	3.

WJ — 5u> 2 VI - TWJ

		1 -	-2	1	2	—1
		0	1	H	3	0
		0	0 -8 -		22	4	WĄ -
		0	0 -8 -		22	3.
		1	-2	1		21	-1
		0	1	1		3	0
*		0	0 -8			-22	4
		0	0	0		0	-1

Stąd

rz A = 3 < 4 = rz [A\B\.

Więc rozważam- układ równań nie ma rozwiązań.

Przykład 4.10

Wskazać wszystkie możliwe zbiory niewiadomych, które mogą być parametrami określającymi rozwiązania układu równań liniowych:

!

* +    3p    +    5z    +    7«    +    2t    =    6

—x +    Ay    +    2z    +    7s    +    3t    =    l

2x +    p    +    5z    +    4a    +    t    =    3

Rozwiązanie

Skorzystamy z faktu mówiącego, że jeżeli układ równań liniowych z n niewiadomymi ma nieskończenie wiele rozwiązań, a jego macierz A ma rząd równy r, to dowolny niezerowy minor macierzy A stopnia r wskazuje nam r zmiennych, które można wyrazić za pomocą n —r pozostałych zmiennych, czyli parametrów. Przeprowadzimy najpierw wstępną analizę macierzy roiazri innej [4|B] układu pozwalającą na ustalenie rzędów oraz wyszukanie odpowiednich minorów. Mamy

[ 13572	6‘	[13 5 7 2	8’
1-1 4 2 7 3	1	- I 0 7 7 14 5	7
L 21541	3.	L0 -5 -5 -10 -3	-B.

W3 : T •»» + Sina

13 5 7 0 1

6

1

-4

0000 i

Stąd wynika, że rz A

rz \A\B\ = r < n = 6. Wyznaczymy teraz wszystkie

niezerowe minory stopnia 3 z przekaztałconcj macierzy A. Spośród wszystkich =

10

minorów stopnia 3 niczerowe są tylko minory zawierające piątą kolumną. Jest ich 6, mianowicie

13 2		15 2		17 2
5		, 5		, „ 5
0 1 | 7		0 1 -7		0 2 |
0 0 | 7		0 0 = ■Ty.		0 o i

3 5 2		3 7 2		5 7 2
^1 1 1		1 2 | 7		^1 2 f
0 o i		00 1 7		0 0 i

Przyjmując kolejno każdy z tych minorów jako podstawą rozwiązania całego układu równań (tj. układu Cramera z trzema niewiadomymi i dwoma parametrami) widzimy, że parametrami mogą być tylko zmienne pozostające poza minorem, a wiąc z. a lub y,a lub y,z lub x,a lub i,z lub też x,y.

• Przykład 4.11

Określić liczby rozwiązań podanych układów równań liniowych w zależności od parametru p:

b)

X	+	py	+	-Z	=	1
2x	+	y	+	z	=	p
X	+	y	+	p*	=	P^a
px	+	py	+	p*	+	pi
X	+	py	+	p*	+	pt
X	+	V	+	pz	+	pi
X	+	V	+	z	+	pi

P

P

P

P

P+l . 2P i

d)

al i (^2p + O* + (p ~ ³)v

' \ (p + 2)x -    2y

{px +    y    +    z    — 1

x +    y    -    z    =; p    ;

x -    y    -I-    pz    = 1

Rozwiązanie

Układ, w którym liczba niewiadomych jest równa liczbie równań ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik macierzy A tego układu jest różny od zera. Każdy przypadek wartości parametru p, dla którego det A = 0 wymaga osobnej analizy zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capellego.

a) Rozważany układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy det A = I Kij ^P I = -p¹ - 3p + 4 = (1 — p)(p + 4) # 0, tzn., gdy p 5^ —4 i p^ l. Macierz rozszerzona układu dla p = —4 ma postać

			3 '
h^3l	u>i :(-7) _	1 1	7
|-8 J	«Ł’5 + 2«|		50
		0 0	7 -

[*|B| = [ I

Stąd wynika, że układ jest sprzeczny, gdyż rzA = 1 < 2 = rz [d|BJ. Dla p = 1 mamy

wiąc rz A = 1 = rz B. Układ równań ma zatem nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od jednego parametru.