DSC07344

106

Układy równań liniowych

wyróżnionych kolumn jest równa liczbie wierszy, które pozostały w macierzy. Rozwiązanie układu odczytujemy teraz z końcowej postaci macierzy, wyróżnione „jedynki” wskazują zmienne zależne.

Uwaga. Przy wybieraniu wyróżnionych kolumn oraz ich niezerowych elementów mamy pełną dowolność. Jednoznacznie określona jest tylko liczba tych kolumn, ale pojawia mię ona w naturalny sposób na końcu postępowania, a) Przekształcamy macierz rozszerzoną układu równań otrzymując

4	3 5 7	2'
2	-1 1 3	4
1	2 2 2	-1
.3	1 3 5	3.

»» - «»» >4 —

0 5 3

3 -1	6"
3 -1	6	«A = “a = “»a
2 2	—1	wa • (—1)
3 -1 1=o]	6.	r		—8	—4	0	“1
	"i	—a»a * 1	O	5	3	11	-ej

W formie rozwiniętej układ równań przyjmuje postać

f x — By — 4z — ¹¹ , by + 3x + u = —6

zatem jego rozwiązanie można zapisać wzorami z = 11 + 8y + 4z, u 6 5y    .

*.z€Ł

b) Postępując według tej samej metody otrzymamy

’ 2	9	6	-2	-3	5'		0	5	8	0	—13	—5"
1	2	—1	—1	5	5	mi —	1	2	—1	— 1	5	5
-2	—7	1	3	-4	-5	mi + 2 “-3 —► u>4 + “Z	0	-3	1	1	6	5
.-1	-5	-1	3	6	4 .		.0	-3	—2	2	11	9.

U3 +

uu —

0    5    8 0 —13

1-1—2 0 11 0-3-11    6

0    3    0 0 —1

—5

10

5

-1

wa-C-O w, + W"¹*

“a " V“'*

— Swa

0    -34    8    0    0

1    32    -2    0    O

0    15    —1    1    0

0 —3    0    0    1

0

1

0

0

0

1

o

.0

p -u

32 -2 O O 15 -l 1 O -3 O O 1

o o

8" — 1 —1 1_

1

—1 —1 1

17 .	—
T^lot>	1
47
-5-OOO	1
43 „
T ^0 1 0	0
-3 0 0 1	I

+- awi • +•»

przykłady

107

zatem

47

* H- Y^a

43

T*

-    3j/

17.

= 1 = X

+ s =0 + t = 1 43

i ostatecznie z = 1 — — y, z = 1 +    ^----^“l/> t — 1 + 3y, gdzie y € R.

c) Rozwiązanie tego przykładu znajdziemy dość szybko, bowiem mamy

8 ^5	1	2	1	-l	6	2'		5 1	2	1	-1	6	2‘
-u	-3	-9	-2	4	—15	-5	«a + ^3u,i	4 0	-3		i	3	l
14	1		3	2	13	6	wj -u»4 +2ułi	9 0	0.	2	3	'7	4
3	-2		1	6	-2	1	u>& — 3u»i	13 0	-3	3	4	10	5
2	3	9	0	-7	8	i		-13 0	3	-3	-4	-10	-5

■t -V] lij-lnJj u'j - 3i#j •/a = -«u

11 5 0-23 4 0-31 13 10 60 11 10 60 11

■t + 3»»

»Z~»1

V* = “3

3 1 17 0 0 5 3 0-9102 10 6011

To oznacza, że

3z + y + 17z 3z    - Oz *

x    + 6s

+ 5u = 5 + 2u = -lir + t + u = 2

zatem

{

y = 5 — 3z — 17z — 5u » = ^1 - 3z + 9z — 2u t % 2 — z - 6z — u

gdzie z, z, u 6 R.

• Przykład 4.17

Dla jakich wartości parametru p podany układ równań ma dokładnie jedno rozwiązanie, określić liczbę rozwiązań tego układu w pozostałych przypadkach:

{1* + P^S1/+ * = ~P *d- y — pz= fil V.+ * = 1

Rozwiązanie

1 P^a		i
1	1	-p
0	En	i

Jeżeli dany układ jest układem Cramera, to ma dokładnie jedno rozwiązanie. Dzieje sie tak, o ile

= (i +p) - (p^a - 1) = (1 +p)(2 —_p) ±o,