Układy równań liniowych3

96 Układy równań liniowych

Podobnie dla p = 2 mamy

	■ i p i ■		'1 2 1-
rz	3 0 2	= rz	3 0 2
	.P ~P 1-		.2-21

1    2    1

0    -6    -1

0    -6    -1

	" i 2 i
llljsis ~ ^rz	0 -6 -1

= 2.

b) Łatwo sprawdzić, że wyznacznik danej macierzy jest równy 0 dla każdego p. To oznacza, że rząd tej macierzy nie jest nigdy równy 3. Zbadajmy teraz jeden z minorów stopnia : np. minor

= 2(p-l).

P *

2 2

Z postaci tego wyznacznika wynika, że dla p / 1 rząd danej macierzy jest równy 2. Dla p = 1 znajdujemy w macierzy inny niezerowy minor stopnia 2, np.

i i		1 1
2 p- 1		2 0

= -2^0.

Ostatecznie dla każdej wartości p € R rząd danej macierzy jest równy 2.

c) Obliczmy jeden z minorów najwyższego stopnia np. minor

h-^11	2	1
1	2 — p	1
1	2	1 ~P

-p²{A-p).

Jeżeli ten minor jest niezerowy, tzn. jeżeli p ^ 0 i p / 4, to dana macierz ma rząd Przypadki p = 0 i p = 4 zbadamy osobno. Dla p = 0 mamy

	■ i -p	2	1	P '		- i	2	1	0 '		1
rz	i	2 - p	1	0	= rz	i	2	1	0	w *•! II N	1
	i	2	1 -p	P.		i	2	1	0	V. -0	r

Natomiast dla p = 4 otrzymamy

	■ 1 - p 2	1	p'		-3	2 14
rz	1 2 -p	1	0	= rz	1	-2 10
	1 2	1 -	p p.		1	2-34.
				= rz	■-3 1	2 14--2 1 0	-I-
					4	0-40.

• Przykład 4.9

: *"v

W podanych układach równań liniowych określić (nie rozwiązując ich) liczby wiązań oraz parametrów:

x-y + 2z + t = l    (2x + 2y-z+t = l

a) <( 3 x + y + z - t = 2 ;    ^bM.^a:_ y ~ * + 3i = 2

5x — y + 5z + t = A    ( 3x + 5y — 4z — t — 0

	X —	3 V	+	Z =	0
	2x 4-	y	-	Z =	1
c) ^<	5x -	y	-	£ =	2
	x —	10 y	+	4 2 =	-1
	X +	y	+	2z =	1

Rozwiązanie

		y	+	Z	1 T"	II CO	0
2x	+	y	-	Z	-	31 =	2
x	-	2 v	+	z	+	21 =	-1
2x	+	3 y	+	z	+	31 =	1

Zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capellego układ równań liniowych z n niewiadomymi postaci AX = B może nie posiadać rozwiązań albo mieć dokładnie jedno rozwiązanie albo też mieć nieskończenie wiele rozwiązań. Decydują o tym rzędy macierzy A układu oraz jego macierzy rozszerzonej [A|S] i wtedy odpowiednio mamy rz A rz [A\B] albo rz A = rz [A\B] = n albo też rz A = rz [A\B] = r < tl. W ostatnim przypadku zbiór rozwiązań zależy odn-r parametrów.

a) Rozważmy następujące przekształcenie macierzy rozszerzonej układu

Z otrzymanej postaci wynika, że rz A = 2 = rz [A\B\ = r < n = 4. Oznacza to, że układ ma nieskończenie wiele rozwiązań zależących od n — r = 2 parametrów.

b) Zamieniamy dla wygody kolejność równań układu i przekształcamy jego macierz rozszerzoną do postaci

'1-1-1 3	2'		- •} t -i i -X -i	3	2 '
2 2-11	1	5 A 3^ —'	0 4 1	-5	-3
.3 5-4-1	0.		0 8—3 -	-10	-6 .

Stąd otrzymujemy, że rzA = 3 = rz [A|B] = r. Jednocześnie n = 4, więc układ równań ma nieskończenie wiele rozwiązań, a liczba parametrów jest równa n — r = 1.

c) W tym przykładzie mamy n = 3. Stosując wskazane operacje elementarne kolejno otrzymamy

0'

1 .

1.

Zatem rz A = 3 = rz [A|S] = n. Układ ma więc dokładnie jedno rozwiązanie.

d) Równanie ze współczynnikiem 1 przy zmiennej x znów dla wygody dajemy na początek ¹ Przekształcamy macierz rozszerzoną układu

' 1	-2 1 2		-1 '		r i	-2	1	2	-1 ]
0	1 1 3		0	ya - 2*1	0	1	1	3	0
2	1 -1 -3		2		0	5	-3	-7	4
.2	3	3	1 .		. 0	7	-1	-1	3

u>a - 5t»-₂

U-3 -$§5