96 97 (5)

96

Przekształcenia liniowe

b) Podobnie macierz złożenia K o L o K o L ir.a postać

(1	-1-f y3	-1 - V^3 1	y_i	3 — /3	-3-/3
u	1 - /3	1 +>/3 J	) *	-3 + v^/3	3 + /3

A B A B = {A

• Przykład 10.3

Spośród podanych przekształceń liniowych wybrać przekształcenia odwracalne i napisać macierze przekształceń odwrotnych do nich w bazach standardowych rozważanych przestrzeni liniowych. Ponadto podać wzory przekształceń odwrotnych, jeżeli:

z) L    :    R² — R², L(x,y) = (x + 3y,2r - y);

b)    L    :    R³ —* i?³, L[x, y, z) = (x - y + 2z, 2r -f    z, 4x -    2j/ + 5z);

c)    L    :    J^I*] —* fizfr], (Lp)(x) = 3(r + l)p'(x)    + p(0)    dla p e jRa[*];

d)    A    ie₃[*] —♦ i^3[x], (Lp)(x) = rp'(i -f 1) -    p(r -f 1) dla p €    Ugfr].

Rozwiązanie

Jak wiadomo przekształcenie liniowe L : C7—* V, gdzie U i V są przestrzeniami liniowymi skończenie wymiarowymi, jest odwracalne wtedy i tylko wtedy, gdy jego macierz A jest nicosobliwa Macierz przekształcenia odwrotnego L~^x jest 2ai równa macierzy A"¹ a) Przekształcenie rozważane w tym przykładzie jest odwracalne, bowiem

	1 *1		• 1 3 *
.4 =	1    O 2    -1	, det .4 = -7^0, A~^l =	7 7 2 1 ■ 7 7 -

Oznacza to, że

!-•(*.,) = (* + * .

b) Przekształcenie z tego przykładu nie jest odwracalne, gdyż

det A =

= 0.

1 -1 2 2 0 1 4-2 5

c) Obrazy wektorów z bazy przestrzeni Jłifzj są następujące:

£(1) = 1, £(x)=3r + 3, i(x^J) = 6x³ + 6x,

co daje

	13 0		1-1 1 “ n ^1 1
4 =	0 3 6 .0 0 6.	, delA = 18 9* 0, /i”^1 =	3 3 l* • ii

Istnieje więc przekształcenie odwrotne L~^l, które można zapisać wzorem

L ¹ (az² -t- bz + c) = ^x² + - ^a r 4- a - b + c dla a,b,c £ R

a 6

3

Dziesiąty tydzień , przykłady    ⁹⁷

lub inaczej

(L^-1 p) (z) = ip(z) +    - ^P(°) + PC”¹) ^dla P ^€

d) Tutaj L{ 1) = -1, £(*) = -1, L (z²) = z² - 1, L (z³) = 2z³ + 3z² - 1, więc

' -1 -1 -1 -1 ‘

0 0 0 0 ^A~ 0013 0 0 0 2 .

Przekształcenie L nie jest odwracalne, gdyż det A = 0.

Przykład 10.4

Przekształcenie liniowe /, : macierz

V—V ma w bazie {uj. v₂} przestrzeni liniowej V

A =

3 -1 2 -2

Znaleźć

a) (tJj + 5^2); b) L^_l (3ti - 4^2).

Rozwiązanie

a) Macierz przekształcenia L* jest równa A'. Zachedzą równości

*⁴ = (A')' =

7 -1 '	2	'47 -9	. 4	1 '		2 '
2 2	^=	18 2	, A	5		28

Stąd wynika, że L^Ą (ib 4- 51*2) = 2v\ 4 28 V2.

b) Przekształcenie L jest odwracalne, bowiem det A = —4^0. Przekształcenie L~^l ma macierz A~^: Z warunków

. _1 1	’ -2 1 '		' 1 1 ' 2 4	«—1	3 '		' 5 * 2
A — — 4	-2 3		1    3 2    4	■ A	-4		9 - 2 -

<    ^    ^    O ^ M _a

wynika, że L~' (3vj — 4t'2) = - tj 4 -t>2-

Przykład 10.5

Wyznaczyć wartości własne i odpowiadające im podprzestrzenie wektorów własnych dla podanych przekształceń liniowych płaszczyzny R² i przestrzeni R³, przy czym odczytać je najpierw z interpretacji geometrycznej tych przekształceń, a później przeprowadzić obliczenia algebraiczne:

a)    rzut prostokątny na płaszczyźnie na oś Ox\

b)    obrót na płaszczyźnie o kąt — wokół punktu (0,0);

c)    symetria w przestrzeni względem osi Oz.