992 113

LU.

Przekształcenia liniowe

Wartości władne Aj — 1, Aj = 3 macierzy A są tu liczbami rzeczywistymi. Rozwiązujemy teiaz u k i ad równań

[A - /A,) M - /Aj)

2		i + i 1
y		2 1 - ,
p		:	_
^z		1 - J
l y.		1 rl 1	■J

y = -(I -f i)x, X 6 C,

y = (1 -    * € c.

Stąd wynika że = (z,-(l + t)x), t>₂ = (x,(l — i)x), gdzie x € C\ {0} oraz W_x = hnc {(1, -1 - «)}, W* — iinc {(1,1 - i)) .

-1 +*V3

^c) Łatwo się przekonać, żc det(/4 — XI) = 1 - A³. Wartościami własnymi macierzy A są zatem zespolone pierwiastki stopnia 3 z jedności, tzn. liczby Aj = 2, A2 =

*V3 _r

A-;

Z odpowiednich układów równań znajdujemy odpowiadające im wektory

własne i\ = (x,x,x) h = (A₂z, -A₃z. z). i*₃ = (A₃x,-A₂z, z), gdzie z, z £ C\ {0}. To oznacza, że

IV! = Iinc {(1,1, i)},

W'-,wT = Iinc {(>V3-1,.V3 + 1,2)}, ty_,-.yr = Un_c {(-1 - «\/3,1 - »V3,2)}.

d) Podana mac:cr2 jest trójkątna i jej dwie wartości własne Aj = 1 — 1. Aj = 2* znajdują się na głównej przekątnej, przy czym Aj występuje dwukrotnie. Analiza układu równań

	2		‘ 0 2 1'		2	r 0
(A -/Aj)	y	=	0 1 + 1 3		y	= 0
	2		0 0 0.		z	L 0.

( *€C

\ y — z —

prowadzi dc wniosku, że tij = (z, 0. 0) gdzie x G C\{0}. Zauważmy przy tym, że wymiar przestrzeni wektorów własnych W,_j = Iinc {Q 0,0)} jest równy 1 mimo, że Aj ma krotność 2. Podobnie znajdujemy wektor własny t?₂ dla wartości własnej Aj otrzymując V₂ = ^x,    0^, gdzie z € C\ {0} oraz W^r2l = Iinc {(2,1 + i, 0)} .

Zadania

O Zadanie 11.1

Podać wszystkie możliwe wartości własne przekształceń liniowych spełniających podane warunki:

a) L² = —L;    b)L*=I.

O Zadanie 11.2

Napisać macierze podanych przekształceń liniowych przestrzeni R² lub R^:i w bazach ich wektorów własnych (o ile takie bazy istnieją):

a) L(z y) = (x + 4y, 2x -f 3y); b) L(z, y) = (5x - 3y, 3z - y);

c)    L(x, y, z) = (x - z, x + 2y + z, z — x);

d) L(z, y, z) = (—x — 3y — 2z, —x + y -f 2z. z -f 3y + 2z).

Jedenasty tydzień - odpowiedzi i wskazówki

C Zadanie 11.3

Przekształcenie liniowe £ R² —♦ R? przeprowadza wektory (1,1). (1,-1) odpowiednio na wektory (1, i), (3, -3). Obliczyć £^s0(5,1).

O Zadanie 11.4

Przekształcenie liniowe £ : ii³—► R¹ spełnia warunki

£(0,1,1) = (0,1,1). £(2,2,0) = (0,0,0), £(1,0,0) = (-1,0,0).

Obliczyć:

a) £(r,y, z) dla (z, y, z) <E A³; b) £¹D5(2,3,6).

O Zadanie 11.5

Znaleźć wartości i wektory własne podanych macierzy rzeczywistych:

^a)	'2 -1 ' 1 4	1	b)	2 r -3 -2	; <0	V3 -i ■ 1 v/3	>	d)	4 1 —5 0-3 5 0 0 2
c)	' -3 0 0 3	-1 ‘ 0	; f)	010' -4 4 0	; g)	CM CM 1 1_	1 ' -1	; h)	'2222' 0 0 0 0 3 3 3 3
	8 0	3		-2 1 2		2 1	3		2 2 2 2

O Zadanie 11.6

Wyznaczyć wartości i wektory własne podanych macierzy zespolonych:

^a)

1 4

-1 1

b)

<0

1 i

-j 1 '

-3 0 10 0 1 0

-10 3

	' 61 0 0 ‘		1 i i		-i 0 -2'
d)	4 4-r2i 0 i 1 5«	; ^e)	1 1 1 2 2 2	; n	0 4 0 2 0 -«

Odpowiedzi i wskazówki

-J + i\/3

11.1 Możliwe są wartości własne a) 0 lub —1, np. L{z, y) = (y-r,0); b) 1 lub 1 - »V3

lub

np. L(x, y, z) = {y.z. z).

	-10 0 5		0 0 0*		-2 0 0
11.2 a)		; b) nie istnieje ba2a wektorów własnych; c)	0 2 0 .0 0 2.	id)	0 0 0 0 0 4.

11.3    (3 + 2-l“₍3-2-3ⁱ⁰).

11.4    a) (y — z — z, z, 2); b) (—5,6,6).

11.5    a) W* = lin <(1,-1)); b) W._x = lin {(1,-3)}, W_x = lin {(1,-1)}; c) brak rzeczywistych wartości własnych; d) W-3 = lin {(1,—7,0)), W^r2 = lin {(2,1,1)},    =

lin {(1,0,0)}; e) W._x = lin {(10, -2)}, W, = lin {(1,0,-4)},    = lin {(0,1 0)};