990 101

Przekształcenia liniowe

co daje rozwiązanie y = -2r, 2 = 0. Wektor własny odpowiadający wartości własnej A; ma więc postać v2 = (r,—2x,0), gdzie z ^ 0. Przestrzeń wektorów własnych W_z = lir. {(1,    2,OJ} Dla Aj = 4 i v₃ = (r,y,z) mamy

	r		-3 -] 2 '		r		0 '
(A - 7Aj)	y z	=	0 -1 -1 .0 0 0.		y z	—	0 0 .

Rozwiązanie tego układu ma postać z = z = — y, więc: tJ = (z, -z,r), gdzie 1 ^ 0 oraz W_Ą = lin {(1.-1,1)} .

d) Tutaj

J - A	0	-1
0	2- A	0
1	0	1 - A

= (2 - A) (A² - 2A + 2) .

det (A — XI) =

Liczba A = 2 jest jedyną rzeczywistą wartością własną przekształcenia L. Odpowiadający jej wektor własny v = (r.y.z) wyznaczamy z układu równań

r		' -1	0	-1'		X		' 0 '
y	=	0	0	0		y	=	0
z		1	0	-1.		2		. 0 .

M - IX)

co daje wynik z = z = 0 y 6 Ti i ostatecznie v = (0, y,0), gdzie y jL 0 oraz W₂ = lin {(0 J,C)}

e) W bazie B = {l,x,x²} przestrzeni i?z[z] mamy L{ 1) = 0 L{x) = r, L (x²) = 2x², więc

0 0 0' 0 1 0 0 0 2

A =

det (A - XI) = -A(] - A)(2 - A).

Otrzymaliśmy trzy wartości własne Ai = 0, Aj = 1, Aj = 2 Wektory własne p_x, p₃. p₃ postaci a + bx -f cx² wyznaczymy z układów równań

{A - /Ai) {A-IX₂) (A - 7A₃)

’ 0 0 01		a		’ 0
0 1 0		b	=	0
.0 0 2 j -1 0 c		c a		0 . 0

0

0

— 2 0 0

0 0 0 1 0 0 -1 0 0 OJ

a

b

c

=> b = c = 0, =*■ a = c = 0, =S> a = 6 = 0.

Pa = cr², gdzie c ^ 0 oraz

Otrzymujemy p, = a, gdzie a ^ 0, p₂ = bz, gdzie b ^ 0, W₀ = lin {1}, Wy = lin (r), W₂ = lin {x²} .

f) Skorzystamy bezpośrednio z definicji wartości własnej przekształcenia liniowego. Dla wektora p = ar² + bz + c mamy

Lp = 2a = A p = Aa x^a + A bz -f Ac.

Gdy A ^ 0, to z równości Ac = A6 = 0 oraz 2a = Ac wynika, zec = 6 = c = 0ip = 0 Ale wektor p = 0 nic jest wektorem własnym, więc jedyną wartością własną jest A = 0,

Dziesiąty tydzień - przykłady

101

x odpowiadające jej wektory własne mają postać p — bx + c, przy czym 6^0 lub c ^ 0.

Ogólnie IV₀ = lin {l,x}.

• Przykład 10.7

Znaleźć wartości i wektory własne podanych przekształceń liniowych wskazanych zespolonych przestrzeni liniowych

a) L : C² — C², L(x,y) = (-y,x);

b)    L : C²^C², i/(r,y) = ((1 + 3i)x —4y, (1 — 3r)y — 2ar);

c)    L : C³ —- C³, L(x, y, z) = (x - z, 2y, x + z),

d)    L C³—C³t L(x,y,*) = (2ix,z+(l+i)y,3x+iy-iz),gdziex_;y,ze C

Rozwiązanie

a) Wielomian charakterystyczny przekształcenia i jest równy u>(A) = A + 1. Otrzymujemy zatem dwie wartość: własne A] = t, A₂ = —i. Rozwiązując układy równań

(A - /Aj) (A - 7A_a)

0

0

0 ' o

x = ij/, x = -ly,

wyznaczamy wektory własr.e Vi = (ty, y), t?z = (—iy, y), gdzie y 6 C\{0), oraz przestrzenie wektorów własnych W, = linc {(*.1)}    = linc {(—1.1)}, przy czym symbol linc

oznacza tu zespoloną operację generowania.

b) Mamy

det {A — A/) =

1 + 3t - A -4 -2    1-3: -A

= A² - 2A + 2 = (A - 1 + i)(A - 1 - »).

Uzyskaliśmy dwie wartości własne Aj = 1 — «, Aj = 1 + i. Odpowiadające im wektory własne th, t5₂ wyznaczymy po rozwiązaniu układów równań

(A-I Ai)

(A - IAj)

y = **,

x = 2:y.

Mamy więc t: = (x,ix), v₂ = (2:y,y), gdzie z,y € C\{0] oraz TV|_, = lincki,*)}, W^i+i = linc {(2«. 1)}

c) W Przykładzie 10.6 d) obliczyliśmy, że tt(A) = (2 — A) (A² — 2A -f 2) . Dla wartości własnej A] = 2 wyznaczyliśmy także zbiór wektorów własnych W₂ = lin {(0,1,0)}. W przypadku zespolonym odpowiedź jest identyczna z tym, że operację generowania należy wykorzystać używając współczynników zespolonych, zatem W₂ = linc {(0,1,0)}. Pojawiają się jeszcze dwie dodatkowe wartości własne Ai = 1—i, A₂ = 1+i. Rozwiązujemy układy równań

	X		■i 0 -]■		■	X				0
(A -/A,)	y	=	0 1 + i 0		y		=			0
	z		.1 0 *.		z					0 .
	X		-i 0 -1	'		X				0
{a - r\2)	y	=	0 1 - i 0			y		=		0
	z		10—*	.		z				0

y = 0, z — iz, y = 0. x- iz,