990 111

110

Przekształcenia liniowe

110

układy równań

W-J Ai)

M-/A₃)

5 3 o 0 6-1 0 0 o

0 3    0

0 1 -1

0 0 -5

-13    0

0 0-1 0 0-6

	’ z		■ 0 ■
	y	=	0
	. 2		. 0 .
	X ‘		0 ■
	y	=	0
	z .		.0.

’ z ‘		' 0 ’
y	II	0
z _		. 0 .

z = 6y

y€R

iy = * \xeR

r i =3j

yefl

(2 = 0

V 5 ’ V’ yj . ^v2 — (*. O, 0). 5₃ = (3y₍ y 0), gdzie x. y £ R \ {0). Zapu

,-aczcj ^    = ^Un {(4'^{1 6})}    = <“> {(1.0.0)}, W, = lin {(3.1.0)}

e) Dla podanej macierzy mamy

2-A 0    1

(A²-^l)(4-A).

O 4-A 0 -5    0    -2 - A

wedynym rzeczywistym pierwiastkiem wielomianu chakterystycznego, a więc i jedyną rzeczywistą wartością macierzy A jest liczba A = 4. Licząc

(A - IX)

x

y

2

CN 1	0	1 ■
0	0	0
“5	0	-6.

f z = z = 0,

\ ytR

znajdujemy wektor własny i = (0, y,0), gdzie y ę R \ {0) oraz przestrzeń wektorów własnych W₄ = lin {(0,1,0)}.

f) Wielomian charakterystyczny w a danej macierzy A ma postać

1 — A    2    3    4

104 (A) = det (A - A/) =

1    2 — A    3    4

1    2    3 — A    4

1    2    3    4 — A

Chcąc ułatwić sobie obliczenie powyższego wyznacznika od każdego wiersza odejmujemy wiersz ostatni, następnie do ostatniej kolumny dodamy sumę pozostałych otrzymując:

	-A 0 0 A 0 -A 0 A		-A 0 0 01 0 -A 0 0
II	0 0 -A A		0 -< 1 o o
	1 2 3 4 — X		1 2 3 10 - A

= -A^s(10 — A).

=

Macierz A ma więc dwie różne wartości własne = 0, A₂ = 10 przy czym pierwsza z nich ma krotność 3. Wektory własne v_lt *z postaci (z,y,z,i) im odpowiadające znajdziemy

Jedenasty tydzień - przykłady    111

z układów równań

	’ z '		' 0 ‘
	y		0
	z		0
	i _		_ 0 .

<=>

x=—2y — 32 — 41 y, z,< € 1*

3    4

3    4

2 -7    4

2    3-6

"1	’ X		r°l
	y		?	- (
	z		o	l
	. t.		.0.

( z = y= z = t \t£R

(A-l A_a)

r
y
z
t _
r
y
z
t _	.

12 3 4 12 3 4 12 3 4 12 3 4 —9    2

1 -0 J 1

Stąd iJ, — (—2y—3z—4t, y, z,<), przy czym y ^ O lub z yL O lub t O oraz ?₂ = (x,x,x, x) dla r ^ 0. Przestrzeń W_a odpowiadająca wartości własnej Ai = 0 jest trójwymiarowa postaci W_c = lin {(-2,1,0,0), (-3,0,1,0), (-4,0,0,1)} , zaś W_lQ = lin {(1,1,1,!)} .

• Przykład 11.6

Wyznaczyć wartości i wektory własne podanych macierzy zespolonych:

a)

1 -1

9 l ^;

b)

2 + 1 1 2 2-

	o o
u i	0 0 J ^100	; d)

r- 1 2

0    2 z

0 0

1

3

i — 1

Rozwiązanie

Wartość własną A 6 C zespolonej macierzy A stopnia n wyznaczamy z warunku

det (.4 — XI) = 0,

zaś odpowiadający jej wektor własny będąc)' niezerowym rozwiązaniem odpowiedniego układu jednorodnego jesL tu elementem przestrzeni C". tzn = (xi,..., x_n) € C*\

a) Mamy

det (A — A/) =

= A² — 2A + 10.

Wielomian charakterystyczny ma dwie wartości własne Aj = 1 — 3t, A₂ = 1 + 3i. Znaj-dziemy teraz wektory własne odpowiadające wartościom własnym Aj, A₂. Mamy

(A - /Aj) (A - iA₂)

X		[* -^11 [
y		^9 3. J [
X		—3i -1 1
y		9 —3i J

y = 3ir, z € C, y = —3ix. 16 C.

Wektory własne V\, v₂. odpowiadające kolejnym wartościom własnym mają postać = (r,3tz), $2 = (z.— 3iz), gdzie z € C\ {0}. Przestrzenie wektorów własnych są tu więc równe W_:.y, = łin_c {(1,3*)}. W^ri + s. = linc {(1, —3t)}, przy czym są to zespolone przestrzenie liniowe i przy generowaniu bierzemy zespolone kombinacje liniowe generatorów, b) W' tym przykładzie

det (A - XI) =

2 + * - A 1 2    2 - i - A

= A³ -4A + 3 =(A- 1)(A — 3).