992 103

1KU.

Przekształcenia liniowe

i otrzymujemy wektory własne va = (x,0.«i), Vj = (u.O,*), gdzie z, z £ C \ {0} oraz Wi_, = linc {(1,0, i)}, W ₊₁ = linc {(*.0, l)} • d) Dla przekształcenia rozważanego w tym przykładzie mamy

A =

2* 0 0 J 1 + i 0 3 i -t

det (.4 - A/) = (2i - A)(l + * - A)(—i - A).

Wartościami własnymi przekształcenia /, są liczby A| = 2i, A₂ = 1 *f », A₃ = -«. Dalej licząc mamy

{A — 1X\) (A - /A₂) {A-l Aa)

	0 0	0 ‘		^X 1	' 0 '
=	11-1	0		* | =	0
	. 3 1	—3i .		* J	0 .

	1-1	0	0		z		0 ’
=	1	0	0		y	=	0
	. 3	i	— 1 — 2«		z		0 .
	’ 3t	0	0	X	'	0	■

1 1 + 2* 0 3 i 0

* = («'- i)y. * = (j + *J V.

=>• r = 0, y = (2 - i)*,

<=> x = y = 0.

Ostatecznie więc tb = ^(» - l)y, y, ^ j + i j y) = (0, (2 - i)x, z), v₃ = (0,0, z), gdzie y, z 6 C\{0}. Stąd wynika ze W_2l = linc {^* — 1,1 j + «) j , Wi+. = linc {(0,2 - i, 1)},

W_, = linc {(0,0. ])}

Zadania

O Zadanie 10.1

Napisać macierze w bazach standardowych odpowiednich przestrzeni liniowych przekształceń £3 o A₂ o L\ oraz (X₂)² o /,!, jeżeli:

a)	L\ :	R^3 —	~R^7	■ M^r»y. z) = (r - y-f z,2y + z),
	Az :	R^2 —	- R?	, A2(r,y) = (2x + y x - y),
	a3	R^2—* R*		. A3(x, y) = (a: - y, y - x, 2x, 2y);
b)	Li :	r^2—+r2\		[x], £i(a,fc) = ar^2 4- bz -f a - /> dla (a,fc) E #^2
	A 2 :	R-i[x]	—*R‘A^X. (A2p)(x) = zp'(-z) dla p £ Jt2[x],
	AS :	«:[ij	— (/-3P)(x) = (p(1),p'(2)) dla p e
O Zadanie		10.2

Niech J K, L będą przekształceniami przestrzeni J2³ w siebie, przy czym J jest symetrią względem osi Oz, K jest symetrią względem płaszczyzny zOz, L jest obrotem o kąt — wokół osi Oy. Napisać macierze w bazie standardowej przestrzeni

R³ przekształceń liniowych będących złożeniami J, A' i L we wszystkich sześciu możliwych kolejności ach.

O Zadanie 10.3

Dla tych spośród podanych przekształceń liniowych, które są odwracalne napisać

Dziesiąty tydzień - zadania    103 macierze i wzory przekształceń odwrotnych:

a)    i R² —* R², tĄx,y) = (3x - 2y,4x - 3y);

b)    L : R³ —► ił³, L(x, y, 2) = (y + 2z, x + y + z, 2* -f 3y + 2z); c} L : Jł₂[*| —♦ 7ł₂(*], (£p)(x) = p(2z) - <1p(z) dla p 6 2ł₂[*]; d) Z, iłi[z] —* JKs[x], (Lp)(z) = z³p'(0) *r p(2r) dla p € Tła (z).

O Zadanie 10.4

U —> l' ma w bazie {£1. u-

S3) prze-

Macierz przekształcenia liniowego L str2em liniowej U postać

1 0    3

A =

0 2    0

2    0-1

Znaleźć: a) L³ (iii - 2u₂ + 113); b) L~^l (35i + u₂ - u₃).

O Zadanie 10.5

Dla podanych liniowych przekształceń płaszczyzny R² i przestrzeni R³ znaleźć wartości własne i wektory własne wykorzystując interpretację geometryczną tych

przekształceń:

a)    symetria na płaszczyźnie względem punktu (0,0);

b)    rzut prostokątny w przestrzeni na oś Oz,

c)    rzut prostokątny w przestrzeni na prostą / : x ■= y = z\

d)    rzut prostokątny w przestrzeni na płaszczyznę x: x + y + z = 0;

c) symetria w przestrzeni względem płaszczyzny xOy\

f) symetria w przestrzeni względem prostej i : x + y = 0, z = 0.

Sprawdzić otrzymane wyniki algebraicznie

O Zadanie 10.6

Znaleźć wartości : wektory własne podanych liniowych przekształceń rzeczywistych przestrzeni liniowych

a)    L :    R²—►Ił²,    L(x,y) = (4x + 2y, y - x),

b)    L :    R² —► R²,    L(x, y) = (2x + y, 4y - z);

c)    L :    R³ —* R³,    L(z, y, z) = (x, 2x + 2y, -r    -    y - z)-,

d) L    R³ —► R³,    L(x_} y, z) = (3x - y, 6x - 2y,    2x    - y + z);

e)    l ił₂[r]-.ił₂[r], (Lp)(x) = p"(x);

f)    L : lł₂[x] —* fl₂[x], (£p)(*) = 2zp'(z) + x²p(0) + p(2).

O Zadanie 10.7

Wyznaczyć wartości własne i wektory własne podanych przekształceń liniowych wskazanych zespolonych przestrzeni liniowych: