992 103

Przekształcenia liniowe

i otrzymujemy wektory własne va = (x,0,tx), vy = (u.O,*), gdzie x, z 6 C \ {0) oraz Wi-_X = linc {(1,0,1)), »^r: + 1 = lin_c ((«,0,1)}. d) Dla przekształcenia rozważanego w tym przykładzie mamy

	Łx	0 0 *
A =	J	1+1 0
	3	t —i

det (.4 - XI) = (2i - A)(l + * - A)(—i - A).

Wartościami własnymi przekształcenia L są liczby Aj = 2», A2 = 1 +«, A3 = —i. Dalej licząc mamy

	X		0 0	0 *	[:1-	°
(A - /A,)	y	=	1 1 — *	0		0
	z		. 3 1	-3 i .	L - J	0 .

= (.-l]y, r=(i + i)

{A - /Aa)	’ X ' y	_	1-1 0 0 1 0 0		X y	_	‘ 0 0
	z _ X		3 i —1 — 2* f 3* 0 0 1	X	z	' 0	0 .

(/1-/A₃)

1 1 + 2« 0 3 i 0

r = 0, y = (2 - i)x,

<=> x = y = 0.

Ostatecznie więc = ^(1 >- l)y, y, ( J + *) S') «s = (°.(² - *)*»*)» *3 = (0,0, <r), gdzie

y, z 6 C\{Q}. Stąd wynika ze W_2l = iinc |    - 1,1 j + t) } , ł^i+i = linc {(0,2 - i, 1)} ,

W= lir.c {(0,0.1)}.

Zadania

O Zadanie 10.1

Napisać macierze w bazach standardowych odpowiednich przestrzeni liniowych przekształceń o Z,₂ ⁰ Li oraz (L₂)² o /-i, jeżeli

a)    Li : J?*¹—'R², Li(r,y,z) = (r - y + x,2y+z),

/_/2    L₂(_r, _y) = (2* + y_: x - y),

£3    £² —♦ ft⁴, /*(*, y) = (x - y, y - ar, 2x, 2y);

b)    L\ R²—► 12 2(2], Li(a,fc) = ai² + bz -f a — 6 dla (a,fc) ę H²,

L₂ : 122[x] —*1^2[x]_f (/,2p)(x) = xp^f(-x) dla p 6 #2(*],

fi₂[x| —A², (L₃p){x) = (p(l),p'(2)) dlap€JR₂[x].

O Zadanie 10.2

Niech J K, L będą przekształceniami przestrzeni R³ w siebie, przy czym J jest symetrią względem osi Oz, 1< jest symetrią względem płaszczyzny zOz, L jest obrotem o kąt — wokół osi Oy. Napisać macierze w bazie standardowej przestrzeni

R³ przekształceń liniowych będących złożeniami J, K i L we wszystkich sześciu możliwych kolejności ach.

O Zadanie 10.3

Dla tych spośród podanych przekształceń liniowych, które są odwracalne napisać

Dziesiąty tydzień - zadania

103

u₃) prze-

macierze i wzory przekształceń odwrotnych:

a)    i    R²—> R²,    = (3* - 2y,4ar -    3y);

b)    /,    :    R³—>R \    L(z,y,z) = (y 4* 2z, x 4-    y + z, 2r 4- 3y + 2z)\

c)    L    :    R₂[x] —> R₂\x],    (Lp)(*) = p(2x) -    <\p(x) dla p    ę    R₂[r];

d)    L    7li[x] —*    (Lp)(r) = r³p'(0)    *f p(2r) dla    p    6 RĄr).

O Zadanie 10.4

Macierz przekształcenia liniowego L : U—> 17 ma w bazie {tli, u₂. strzeni liniowej U postać

1 0 3

A =

0 2    0

2    0-1

Znaleźć:

a) L³ ( 5i - 2£i2 4- u_:»); b) L~^[ (3t2i -ł- u₂ - ua).

O Zadanie 10.5

Dla podanych liniowych przekształceń płaszczyzny R² i przestrzeni R³ znaleźć wartości własne i wektory własne wykorzystując interpretację geometryczną tych

przekształceń:

a)    symetria na płaszczyźnie względem punktu (0,0);

b)    rzut prostokątny w przestrzeni na oś Oz,

c)    rzut prostokątny w przestrzeni na prostą / : x — y = z\

d)    rzut prostokątny w przestrzeni na płaszczyznę x: r 4- y4-x = 0;

e)    symetria w przestrzeni względem płaszczyzny xOy\

f)    symetria w przestrzeni względem prostej i : x + y = 0, z = 0.

Sprawdzić otrzymane wyniki algebraicznie

O Zadanie 10.6

Znaleźć wartości : wektory własne podanych liniowych przekształceń rzeczywistych przestrzeni liniowych

a) L    _:    R²—.R\    L(x, y) = (4x 4-    2y, y - r);

h)L    R? —► R²t    L(x, y) = (2x 4-    y, 4y - z)]

c)    L    :    R³ —► R³,    L{x, y, z) = (i, 2x 4- 2y, -r    -    y - z),

d)    L    R³ —► R³,    L{x, y, z) = (3z    - y, 6x - 2y,    2r - y    4- z);

e)    i : R₂[x]—►iZ₂[x], (Lp)(x) = p"(x);

f) i : R₂\x) —► i2₂[x), (Lp)(z) = 2ip'(r) 4- J²p(0) 4- p(2).

O Zadanie 10.7

Wyznaczyć wartości własne i wektory własne podanych przekształceń liniowych wskazanych zespolonych przestrzeni liniowych: