990 101

= (2 - A) (A² - 2A -f 2) .

det (A - XI) =

A =

0 1 0 0 0 2

Przekształcenia liniowe

co daje rozwiązanie y = -2x, 2 = 0. Wektor własny odpowiadający wartości własnej Aj ma więc posiać v₂ = (x,—2x,0), gdzie z ^ 0. Przestrzeń wektorów własnych = lir {(!,    2,0)} Dla A3 = 4 i $3 = (r,y, z) mamy

(A- /A.,)

r		1 CeJ 1 K5		r		‘ 0
y	=	0 -1 -1		y	—	0
z		o o o		z		0 .

Rozwiązanie tego układu ma postać r = z = -y, więc v = (z, — z,r), gdzie 1 ^ 0 oraz W_Ą = lin {(l.-l.l)}.

d) Tutaj

1 — A 0    -1

0    2-    A 0

1    0    1 - A

Liczba A = 2 jest jedyną rzeczywistą wartością własną przekształcenia L. Odpowiadający jej wektor własny V = (z,y,z) wyznaczamy z układu równań

(A - IX)	X y	—	' -1 0	0 -1 -0 0		X y	=	' 0 ' 0
	z		1	0 -1 .		. * .		. 0 .

co daje wynik 1. = z = 0 y £ R[ ostatecznie v = (O.y.O), edzie y ^ 0 oraz W₂ = lin {(0 1,0)}

e) W bazie B = {l.z.i²} przestrzeni A; [z] mamy L[ 1) = 0 L(x) = z, L (x²) = 2x², więc

0 0 0,

det (A - XI) = -A(l - A)(2 - A).

Otrzymaliśmy trzy wartości własne A, = 0, Aj = 1, Aj = 2 Wektory własne p„ p₂, _Pj postaci a -r bx -f cx² wyznaczymy z układów równań

(A^IX_x) [A — 1X2) (A - /A₃)

	a		0
	6	=	0
	c		0 .

	0
=	0
	0 .

0 0 0 o 1 o 0 0 2 -10 0 0 0 0 o o 1 -2    0 0

0-10 0    0 0

b = c = 0, a = c = 0, o = 6 = 0.

Otrzymujemy pj = a, gdzie a ^ 0, p- = 6r, gdzie 6 ^ 0, p, = cz², gdzie c ^ 0 oraz W₀ = lin {1}, Wi = lin {r}, W₂ = lin {x²} .

f) Skorzystamy bezpośrednio z definicji wartości własnej przekształcenia liniowego. Dla wektora p = or² 4- 6z -f c mamy

Lp = 2a = Ap = Aax² + A6x -f Ac.

Gdy A / 0, to z równości Aa = A6 = 0 oraz 2a = Ac wynika, zea = 6 = c = 0ip = 0 Ale wektor p = 0 nie jest wektorem własnym, więc jedyną wartością własną jest A = 0,

Dziesiąty tydzień - przykłady a. odpowiadające jej wektory własne mają postać p = tx + c, przy czym 6^0 lub c ^ 0. Ogólnie W'₀ = lin {l,x}.

• przykład 10.7

Znaleźć wartości i wektory własne podanych przekształceń liniowych wskazanych zespolonych przestrzeni liniowych

a)    L : C²—>C², L(x, y) = (-y x)-

b)    L : C² — C², L(x_yy) = ((1 + 3*> - 4y, (1 - 3i)y - 2x);

c)    L : C³ —- C³, L(x, y, z) = (r - z, 2t/, r + z);

d) L C³—♦ C³,    ^) = (2ix,x+(l+i)y, 3x+iy-*z), gdzie z y, z £ C

Rozwiązanie

a) Wielomian charakterystyczny przekształcenia /, jest równy u>(A) = A² + 1. Otrzymujemy' zatem dwie wartości własne A] = i, A₂ = —*. Rozwiązując układy równań

(A-I A,) [A - 7A_a)

0

0

0 * 0

x = iy, x = -jy,

wyznaczamy wektory własne th = (ty, y), t?₂ = (—*y, y), gdzie y 6 C\{0), oraz przestrzenie wektorów własnych W, = linc {(«, i)}- W'-, = linc {(—*. 1)}, przy czym symbol linc oznacza tu zespoloną operację generowania.

b) Mamy

det (A — A/)

1+3*-A -4 -2    1 — 3* — A

= A² - 2A + 2 = (A - 1 + «)(A - 1 - i).

Uzyskaliśmy dwie wartości własne Aj = 1 — i, A₂ = 1 + i. Odpowiadające im wektory własne tJj, v₂ wyznaczymy po rozwiązaniu układów równań

(A-I A,) (A - IX₂)

y = ix,

x = 2ty.

Mamy więc th = (x, »*), t*₂ = (2*jr.$r), gdzie i,y € C\ {0} oraz W|= linc -{(1, *)}, ^1+, = linc {(2i. 1)}

c) W Przykładzie 10.6 d) obliczyliśmy, że tc(A) = (2 — A) (A² — 2A + 2) . Dla wartości własnej A] = 2 wyznaczyliśmy także zbiór wektorów własnych W₂ = lin {(0,1,0)}. W przypadku zespolonym odpowiedź jest identyczna z tym, że operację generowania należy wykorzystać używając współczynników zespolonych, zatem W? = linc {(0,1,0)}. Pojawiają się jeszcze dwie dodatkowe wartości własne Aj = 1—i, A₂ = 1 + t Rozwiązujemy układy równań

1 0	-1 '		x		0 '
0 1 + t	0		y	=	0
1 0	i _		z		. 0 .
-* 0	-1	'	z		0

y = 0, z — tz, y = 0. x = iz,