006(1) 2

to

P (3) = 3^{1 2}+2 • 3 — 5 = 10,    P(0)=-5, P(n) = a²+2a-5

Funkcje:

1)    potęgową y = x",

2)    wykładniczą y = a^x, a > 0,

3)    logarytmiczną y = log_ax, a > 0, a ^ 1,

4)    trygonometrycznej = sin*, y = cosx, y = tgx, y = ctgx,

y = sec x

1

cosx’

y — cosec x —

1

sinx’

5) cyklometryczne (kołowe), tj. odwrotne do funkcji trygonometrycznych: y — arcsinx, y = arccosx, y — arctgx, y = arcctg.t nazywamy podstawowymi funkcjami elementarnymi.

Funkcje, które można wyrazić jednym wzorem, w którym występuje skończona ilość działań arytmetycznych i skończona ilość operacji, oznaczanych przez symbole podstawowych funkcji elementarnych, będziemy nazywać funkcjami elementarnymi. Funkcjami elementarnymi są np.

y =-5x³ sin 2x

>' = 1 g

1+tgy x

x—Ctg² X

Wszystkie pozostałe funkcje noszą nazwę nieelementarnych. Nieelemen-tarną będzie funkcja określona kilku różnymi wzorami dla różnych przedziałów dopuszczalnych wartości argumentu, np.

_ [ x³    dla    x < 0

^    \ x-f 2    dla    x > 0

Funkcję f(x) o własności /(x) — f(—x) nazywamy parzystą, np.: X², cosx; funkcja jest nieparzystą, jeżeli f(x)= —/(—x), np.: X³, sinx. Są funkcje, które nie są ani parzyste, ani nieparzyste, np.: a^x, ]/x.

ten stanowi przedział domknięty, czyli odcinek [—2, 2]. Odkładamy ten odcinek na osi Ox (rys. 1); będzie on symetryczny względem jej początku (punkt x = 0).

2)    Pozbywając się znaku wartości bezwzględnej, drugą nierówność możemy wyrazić za pomocą dwóch nierówności: t—2 < —3 oraz t—2 > 3. Rozwiązując je względem ! znajdujemy t < — 1 oraz t > 5. Zatem obszar dopuszczalnych wartości zmiennej t (rys. 2) składa się z dwóch nieskończonych przedziałów otwartych (— oo, —1) oraz (5, -foo).

— OO    “f CO

--o-----O    -    --    " i -T-

~g -1    0    1    2 ^x    -10    5 t

Rys. 1    Rys. 2

3)    Rozwiązujemy podwójną nierówność zawierającą a. W tym celu od wszystkich części nierówności odejmujemy jedność, a następnie dzielimy je przez —2; otrzymamy wtedy

— 10 < —2* <4

-2<a^5

Obszarem dopuszczalnych wartości zmiennej a (rys. 3) jest więc półotwarty przedział (—2, 5).

-2 h    5 ^x~

Rys. 3

2. Obliczyć wartości funkcji:

1)    /(*) = j/*²—5x-f 4 dla: a) x = 0, b) x — n+1

2)    <p(x) — 2 arc sin x+arc tg 2x, dla x = —— ⁴

11

1

Znaleźć i zaznaczyć na osi liczbowej obszary dopuszczalnych wartości zmiennych x, t i tr, określone nierównościami:

2

1) x²<4 2) \t—2\ >3 3) — 9 < 1—2a < 5

3

Rozwiązanie: 1) Wyciągając pierwiastek kwadratowy z obu stron pierwszej nierówności, otrzymamy | x|<2. Wynika stąd, że —2 < x < 2. Nierówność ta określa obszar dopuszczalnych wartości zmiennej x, czyli zbiór wartości liczbowych, które zmienna ta może przyjmować. Zbiór

4

   y = x² arc cos-- — 3x arc ctg x, dla x = — 1

Rozwiązanie: la) Podstawiając wartość x = 0 otrzymamy /(O) = ,/0²—5 ■ 0+4 = V4 = 2

Za wartość pierwiastka wzięliśmy tylko jego wartość arytmetyczną +2, a nie ^2, gdyż zgodnie z ogólną zasadą analizy matematycznej, rozpatrujemy wyłącznie funkcje jednoznaczne, które dla każdej wartości argumentu przyjmują tylko jedną wartość.