92 93 (11)

Przekształcenia liniowe

Wyznaczyć obrazy podanych wektorów w tym przekształceniu:

a)    5 = -2uj + 3u₂; b) 2 = 62j — u?

O Zadanie 9.4

Dla podanych przekształceń liniowych przestrzeni R² (jR³) naszkicować zbiory D oraz L(D) i porównać ich pola (objętości), jeżeli:

a )l R² — R\ L(z_ty) = (-2x,3y), D = {(*, i/) € R² : |x| + |y|<l}_;

b)    i/: fi² —► R², L(z,y) = (ar + 2y,2r 4- y), D = [-2.1) x [0,1);

c)    Z:    ii³—♦ R³, L(x_yy,z) = (3x,3y,-z),

0 = {(*.y. *) ^ -R³ : x² + y² < 4, yjz² + y⁷ ^    ^ 2 j

O Zadanie 9.5

Rozwiązać ponownie Zadanie 9.2 stosując tym razem wzór na zmianę macierzy przekształcenia liniowego przy zmianie baz wychodząc od baz standardowych rozważany di przestrzeni liniowych.

O Zadanie 9.6

Napisać macierze podanych przekształceń liniowych L : U—► U w podanych bazach przestrzeni U. Wykorzystać wzór na zmianę macierzy przekształcenia przy zmianie bazy:

a)    L(x,y) = (x +3y,y-3x), U = R², 2_: = (2,1), 2₂ = (-1,3);

b)    L jest rzutem prostokątnym na płaszczyznę rOz,

U=R³, 2, =(l,i,Q)_tuj = (2,3,2), 2₃ = (0,1,3);

c)    (Lp)(z) = x²p(0) + xp'( 1), U = R₂[x]_t Pi = x² + x + \,p₂ = 1, p₃ = x + 1.

C Zadanie 9.7

Przekształcenie liniowe L U—* V ma w bazie {2₁₍ u₂}, przestrzeni liniowej U i w bazie {2i, v₂, £3} przestrzeni liniowej V macierz

f 3    0    ‘

-4=    2    1

[ 1 -2

Napisać macierz A' przekształcenia L w bazach {3 tli + 2u₂, ~U\ + 2₂} i {^1 — t?3 , 3?_2i 22i — U3} odpowiednio przestrzeni U i V.

O Zadanie* 9.8

w

Skonstruować (o ile to możliwe) takie bazy odpowiednich przestrzeni liniowych, których podane przekształcenia liniowe mają wskazane macierze:

a) L : R}-*R\ L(x, y) = (*, A = [ \ _} 1;

5 5 J 0    ;

2 3

b) L R² —- R³, L(x, y) = (i + y, 2z - y, z - 3y), /4 =

i 2 r

c) l R³-R³. L(z.y.z) = (r.y, z), A = O 1 1 ;

O 1 2

'212'

d)    L : H³—► IZ³, L(z,y,r) = (z.y.z), >1=    -111    ;

° 3 4

o) Czy w przykładach a) i c) bazy dziedziny i obrazu przekształcenia L mogą być tc same?

O Zadanie* 9.9

Napisać wzór jednego z przekształceń liniowych będących obrotem w przestrzeni R³ o kąt a wokół prostej

x = at, y=bt, z = ct_f l € R, a² + b² -f c² > 0.

Odpowiedzi i wskazówki

6 0

3 -1 1 1

0.1 a)

							‘ 20	2	4 '
■ 1	1	0 '		' 4	3 '		21	21	21
1	0	1	;b)	1	-2	; c)	2	17	8
0	1	-1		0	c		21	21	21
0	1	2 _		o	O .		4	8	5
							. 21	“21	27 .

d)

0

v/2

2

o €

0

2 V2 2 J

9.2 a)	" 1 -1 0‘ 1 2 0	;b)	[■•141 3 7	. c)	3 1 5 14 ' -3 —2 -7 -13
	. -1 -i 0.		00 - -L 2 2-1		.113 4 .

d)

2

-1

	r -1 101		2 3 1
e)	0 -1 1	;f)	1 e* 1
	1 10		2 3 .
= 0 dla j < i oraz a,, =			1
			U -«-

9.3 a) SV2 — 16tJa; b) 16ti — 7€5₂ -ł- lSifo

; g*) A = [flfj), 1 ^ i ^ », 1 ^ i ^ r- dla j > i.

9.4    a) zbiór D jest kwadratem o wierzchołkach (1,0), (0,1), ( — 1,0), (0,-1), D| = 2, zbiór L[D) jest rombem o wierzchołkach (-2,0), (0,3), (2,0), (0,-3), \L{D)\ = 12;

b)    zbiór D jest prostokątem o wierzchołkach (1.0), (1,1), (—2,1), (-2,0), |£)| = 3; zbiór L(D) jest równoleglobokiem o wierzchołkach (1,2), (3,3), (0,-3). (-2. —4), |L[D) = 9;

c)    zbiór D jesl stożkiem o podstawie leżącej w płaszczyźnie z = 2, podstawa jest kołem o środku w punkcie (0.0,2) i promieniu 2, wierzchołek stożka jest w punkcie (0,0,0),

g

\D\ = -r, zbiór UD) jest stożkiem o wierzchołku (0,0,0) i o podstawie kołowej o środku w punkcie (0,0 —2) i promieniu 6 łeżącej w płaszczyźnie z = —2, L(D)| = 24x.

9.5    Patrz odpowiedzi do Zadania 9.2.