992 113

HZ

Przekształcenia liniowe

Wartości własne Aj = I, A? = 3 macierzy A są lu liczbami rzeczywistymi. Rozwiązujemy Leraz układ równań

[A - /Aj)

M-/a₂)

X		' 1 + »	1 1
V		2 i-.jL
z		I-i	1
y		2	-1 - »

;]

1 x 1	0
II	0

y = -(I +»)*. I 6 c,

y = (1 - i ir, z € C.

Stąd wynika że v\ = (z,-(l -f *)*). ti₂ = (x,(l — i)z), gdzie x £ C\ {0} oraz W_x =

linc {(1,-1 — *)>. W'3= iin_c{(l,l-i)).

c) Łatwo się przekonać, że det(/4 - A/) = 1 - A³. Wartościami własnymi macierzy A są

1 -f *V3

zatem zespolone pierwiastki stopnia 3 z jedności, tzn. liczby Aj = 1, A2 =

— ---— - A odpowiednich układów równań znajdujemy odpowiadające im wektory

własne v_x = (x,r,r) t’₂ = (A_az,-A₃*, *), t-₃ = (A₃z,-A₂z, z), gdzie x,z £ C\ {0). To oznacza, że

IV, = lin_c {(3,1,1)} ,

= Unc { (»V3 - 1, iV3 + 1.2) } ,

= Unc {(-1 - *%/3,1 — *V3, 2) } .

d) Podana macierz jest trójkątna i jej dwie wartości własne Aj = 1 - 1. Aj =2i znajdują się na głównej przekątnej, przy czym A, występuje dwukrotnie Analiza układu równań

A-l A,

X		■ 0	2	1 ‘		X	r 0	i
y	—	0 l + i		3		y	= 1 0	<=> (
z		0	0	0 .		z	L 0.	l

T.    £    C

y = z — 0

prowadzi dc wniosku, że t5j = (r,0.0), gdzie x £ C\{0). Zauważmy przy tym, że wymiar przestrzeni wektorów własnych W',., = linc {(1.0,0)} jest równy 1 mimo, że Ai ma krotność 2. Podobnie znajdujemy wektor własny t₂ dla wartości własnej X₂ otrzymując ^2 = (x, -^1, 3) , gdzie x £ C\ {0} oraz W^r2. = linc {(2,1 + i. 0)} .

Zadania

O Zadanie 11.1

Podać wszystkie możliwe wartości własne przekształceń liniowych spełniających podane warunki:

a; L² = —L\ b) Z,³ =/.

O Zadanie 11.2

Napisać macierze podanych przekształceń liniowych przestrzeni R² lub R³ w bazach ich wektorów własnych (o ile takie bazy istnieją):

^a) M^x. y) — (* + 4y. 2r -f 3y); b) L(z,y) = (5z — 3y, 3x — y);

c)    L(x, y, z) = (x - z, z + 2y + z, z - x)\

d)    L(z, y, z) = (-x - 3y - 2z, -z + y + 2z_: x + 3y + 2z).

Jedenasty tydzień - o

C Zadanie 11.3

Przekształcenie liniowe L : R¹ —+ R? przeprowadza wektory (1, 1). (1,-1) odpowiednio na wektory (1, 1), (3, -3). Obliczyć L^so(5,1).

O Zadanie 11.4

Przekształcenie liniowe L : R³ —* U³ spełnia warunki

L(0,1,1) = (0,1,1). £(2,2,0) = (0,0.0), £(1,0,0) = (-1,0 0).

Obliczyć:

a) L(x, y, z) dla (z, y, z) 6 R³; b) L^1D5(2,3, 6).

O Zadanie 11.5

Znaleźć wartości i wektory własne podanych macierzy rzeczywistych:

<0

2-1		b)	2	r		V3	-I'		d)
1 4	1		-3	-2	; <0	1	v/3.	>
'-3 0	-1 "		0	1 0'		2	-1	1 '
0 3	0	; f)	-4	4 0	; g)	-2	1	-1	; h)
8 0	3		-2	1 2		2	1	3

^a)

4 l -5 0-3    5

0 0 2

2 2 2 2'

0 0 0 0 3 3 3 3 2 2 2 2

O Zadanie 11.6

Wyznaczyć wartości i wektory własne podanych macierzy zespolonych:

3 0 10

b> ¹ ’

1 4

-1 1

6 i 0    0

4 4 -f- 2t 0

:    1    5:

^e)

1 i

-i 1

2    2    t

1 1 1

2 2 2

0 1 0

-10 3 -i 0 -2 0 4    0

2 0 -i

Odpowiedzi i wskazówki

-1 +2%/3

11.1 Możliwe są wartości własne a) 0 lub —1, np. L(z, y) = (y — r,0); b) 1 lub lub *    np. L(x, y, z) = (y. z. z).

	-1 0 0 5		"0 0 0'		-2 0 0‘
11.2 a)		; b) nie istnieje baza wektorów własnych; c)	0 2 0 .0 0 2.	;d)	0 0 0 0 0 4.

11.3    (3+ 2-3* . 3 —2 3*°).

11.4    a) (y — z — z,z,z)\ b) (—5,6,6).

11.5    a) W₃ = lin ((1,-1)}; b) W'_i = lin {(1,-3)}, W_: = lin {(1,-1)); c) brak rzeczywistych wartości własnych; d) W-z = lin {(1,—7,0)}, Wt = lin {(2,1.1)}, W_K = lin {(1,0,0)}; e) VV_, = lin {(1,0,-2)}, Wj = lin {(1,0,-4)}, W₃ = lin {(0.1 0)};