103988

Twierdzenie

Na to by liczba AeK była wartością własną przekształcenia liniowego <p.Kⁿ->K" potrzeba i wystarcza by P(A)=0.

Twierdzenie

Zbiór wektorów własnych q>: K" —> K" o wartości własnej Ae K uzupełniony o wektor zerowy jest niezmienniczą przestrzenią liniową , oznaczamy ją L_x, dim L_x = n-rz(A- jcl), gdzie A - macierz przekształcenia.

Twierdzenie

Jeśli    wektory własne przekształcenia liniowego ę: K" —» K" mają różne wartości własne, to

są liniowo niezależne.

Twierdzenie

Jeśli (p \ Kⁿ —» K" ma n różnych wartości własnych    oraz dła i e {l,2.....w} x_t jest wektorem

własnym o wartości własnej A,, to x........ tworzą bazę Kⁿ. W bazie tej (p ma macierz diagonalną ,

której główną przekątną (diagonalę) tworzą liczby A,.....A„.

Twierdzenie. Jeśli AeM„„ ma n liniowo niezależnycli wektorów własnych, to macrerz C której

koliunnanrr są kolejne wektory własne A nazywamy diagonalizirjącąA. Macierz D = C ‘AC jest diagonalna.

Twierdzenie Cayleye 'a Hamiltona

Każda macierz kwadratowa spełnia swoje równanie charakterystyczne, traktowane jako równanie macierzowe.

Definicja (forma liniowa)

Niech V = /?", R- ciało liczb rzeczywistych, (a,.....a_n)- baza V Odwzorowanie / :Vx V ->R

Jt

takie, że A f(x, y) = ^ a _ix_l y _t, a ^ e R nazywamy fonną liniową, gdzie    ,CCj ).

i.i-i

Macierz A = [a_y J nazywamy macierzą formy, rz A -rzędem fonny, det A - wyróżnikiem formy Jeśli det A * 0 to mówimy, że / jest nreosobliwa.

Jeśli A^T = A to mówimy, że / jest symetryczna.

Definicja (forma kwadratowa)

Jeśli / jest dwuliniową symetryczną fonną, to fimkcję F(x) = f(x,x) nazywamy formą kwadratową fonny d wul i ni owej / . Jeśli f(x)= J'a_ux? to mówimy, że F jest postaci kanonicznej.

■-i

Każdą fonnę kwadratową można sprowadzić do postaci kanonicznej. Ilość współczynników dodatnich w każdej postaci kanonicznej fonny jest taka sama.

Definicja (forma dodatnio określona)

Fonnę F :Rⁿ x Rⁿ -» R nazywamy dodatnio (ujemnie, niedodatnio, nieujenuiie) określoną jeśli A F(x)> 0(<0, ^0, ^0).

xeK"\{0)