0070

71

§ 4, Kryterium zbieżności — Punkty skupienia

Twierdzenie. Na to, by ciąg {x„} miał granicę skończoną, potrzeba i wystarcza, żeby dla każdego e>0 istniał taki wskaźnik N, że nierówność

(2)    |x₍,-x„.|<£ jest spełniona, jeśli tylko n>N i n'>N.

Jak widać, istota rzeczy tkwi w tym, żeby wartości ciągu zbliżały się do siebie w miarę wzrostu ich wskaźników. Przejdźmy do dowodu.

Konieczność. Niech ciąg {x,,} ma określoną granicę skończoną, na przykład a. Z samej definicji granicy [23] dla dowolnej liczby e>0, a tym samym dla dowolnej liczby znajdziemy taki wskaźnik N, że dla n>N słuszna jest zawsze nierówność

|x„-a|<i£.

Weźmy teraz dowolne dwa wskaźniki n>N i ri>N; dla nich jest jednocześnie

|*n-«|<łe i \a-x„.\<ie,

skąd

Tak pokazaliśmy konieczność warunku. Znacznie trudniej dowieść jego dostateczności.

Dostateczność. Niech warunek twierdzenia będzie spełniony; należy stwierdzić, że wówczas ciąg {x„} ma określoną skończoną granicę.

W tym celu przeprowadźmy w zbiorze liczb rzeczywistych przekrój według następującego prawa. Do klasy dolnej A zaliczmy każdą taką liczbę rzeczywistą a, dla której zaczynając od pewnego miejsca jest spełniona nierówność

x„>a .

Do klasy górnej A' zaliczamy wszystkie pozostałe (tj. nie należące do A) liczby rzeczywiste a'.

Przede wszystkim upewnijmy się o tym, że klasy te nie są puste, wykorzystując w tym celu warunki twierdzenia. Przy danej dowolnej liczbie e>0, weźmy odpowiadający jej (we wskazanym tam sensie) wskaźnik N. Jeżeli n>N i n'>N, to spełniona jest nierówność (2), skąd

(3)    X„,-£<X„<X_n. + £ .

Teraz widzimy, że każda liczba x„.—£ (dla n’>N) należy w szczególności do klasy A, bo dla dostatecznie dużych n (mianowicie dla n>N) x„ jest większe od wszystkich liczb tej klasy. Z drugiej strony ponieważ (dla tychże n) x„ jest mniejsze niż dowolna z łiczb postaci x„.+£ (przy ri>N), to ani jedna z tych liczb nie może należeć do A, a więc należy do klasy A'.

Zauważmy, że definicja klas A i A' jest tak sformułowana, że jest na jej podstawie bezpośrednio jasne, że każda liczba rzeczywista należy do jednej i tylko jednej z tych klas. Jednocześnie każda liczba a (z A) jest mniejsza od każdej liczby a' (z A'). Bowiem przy a>a' ciąg x„ poczynając od pewnego miejsca miałby wyrazy większe niż a', wbrew defi-