0072

73

§ 4. Kryterium zbieżności — Punkty skupienia

Niech np. będzie *„ = ( —1)" ^{+ 1}, ciąg ten nie ma granicy. Jeżeli jednak będziemy przebiegali tylko nieparzyste lub tylko parzyste wartości wskaźnika n, to podciągi

A.'i—1, X$— 1, X2lt-l⁼— 1, ...

oraz

*2== — 1, x₄=— 1, ..., x₂k= — 1, •••

mają odpowiednio granice +1 i —1. Liczb-y te są punktami skupienia ciągu {x„}. Analogicznie, ciąg *„ = ( — l)" ^{+ 1}n ma punkty skupienia +oo i —oo, a ciąg x„ = /i^<~‘^>’⁺¹ ma punkty skupienia +oo i 0.

Łatwo zbudować przykład ciągu, który ma nieskończenie wiele różnych punktów skupienia. Oto jeden z tych przykładów. Określimy ciąg x„ następująco: jeżeli wskaźnik n ma dziesiętny zapis ap ... v (gdzie a,P,..., v są cyframi), to przyjmujemy

.*•„=0, txfl...\>.

Na przykład *13=0,13, *4035 = 0,4035 itd. Każdy skończony ułamek dziesiętny pomiędzy 0,1 a 1 jest przyjmowany przez nasz ciąg nieskończenie wiele razy; np. 0,217 na miejscu 217, ale także na 2170, 21700 itd.

Wynika stąd od razu, że każdy skończony ułamek dziesiętny pomiędzy 0,1 a 1 jest punktem skupienia rozważanego ciągu. Jeżeli jednak weźmiemy dowolną inną liczbę rzeczywistą w tym przedziale, to wystarcza przedstawić ją w postaci ułamka dziesiętnego nieskończonego [9]:

a=0, ci Cł... c*...    (Ci>l),

żeby było jasne, że podciąg

*C — 0,Ci,    z,,!, — 0, Ci c₂ ,    ..., z_{C|fl< fC}, — 0,CiC2...Ci;,    ...

dąży właśnie do a. Tak więc, w rozpatrywanym przypadku punktami skupienia ciągu są punkty przedziału <0,1,1 >.

Czy zawsze ciąg {x„} ma punkty skupienia? Na to pytanie łatwo odpowiedzieć twierdząco, jeżeli zbiór {x„} nie jest ograniczony. Niech np. będzie on nieograniczony z góry; wówczas dla każdego naturalnego k znajdziemy w ciągu (1) wyraz x„_k większy niż k:

x„_k>k (k= 1,2,3,...)

(przy czym łatwo dobrać tak wskaźniki n_k, żeby wzrastały one wraz z k). Podciąg

^Xn 1 > ^xn₂ 1 ^xn₃ i • ■ • ) ^xnk > • • •

ma oczywiście granicę +00. Jest to więc punkt skupienia naszego ciągu.

Również w przypadku ciągu ograniczonego można dać odpowiedź twierdzącą, ale dowód jest subtelniejszy, niż w przypadku ciągu nieograniczonego.

41. Lemat Bolzano-Weierstrassa. Z dowolnego ciągu ograniczonego zawsze można wyjąć podciąg zbieżny. (To sformułowanie nie wyklucza możliwości liczb równych w danym ciągu, co jest dogodne w zastosowaniach).

Dowód. Niech wszystkie liczby x„ należą do przedziału (a, b}. Podzielmy ten przedział <«, b) na połowy. Wówczas choćby w jednej połowie zawarte jest nieskończenie wiele wyrazów danego ciągu, bo w przeciwnym przypadku w całym przedziale <a, b} zawierałoby