0074

75

§ 4. Kryterium zbieżności — Punkty skupienia

i jednocześnie n_k>N. W takim razie w (2) można wziąć n’=n_k

porównując obie te nierówności, znajdujemy w końcu

|x„ — c|<2e    (dlan>N),

co dowodzi naszego twierdzenia (¹).

42. Granice górna i dolna. Tak wiec dowolny ciąg, czy to ograniczony, czy to nieograniczony, ma punkty skupienia. Udowodnimy teraz, że spośród tych punktów skupienia istnieją największy i najmniejszy: nazywamy je granicą górną i granicą dolną i oznaczamy odpowiednio przez

lim x„ i hm x„.

Twierdzenie. Granice górna i dolna dla ciągu {¹„} zawsze istnieją. Ich równość jest warunkiem koniecznym i dostatecznym na istnienie granicy ciągu (w zwykłym sensie)(^J).

Dowód. Rozpocznijmy od rozważenia zagadnienia granicy górnej. Jak już widzieliśmy poprzednio [40], jeżeli ciąg {x„} nie jest ograniczony z góry, to z ciągu (1) jego wartości zawsze można wybrać podciąg {x„_t} taki, że

lim = 4- cc .

W tym więc przypadku + oo jest jednym z punktów skupienia i oczywiście największym z możliwych, a więc

iimx„= + oo .

Załóżmy teraz, że ciąg {¹„} jest ograniczony z góry

x,<M (« = 1,2,3,...).

Rozważmy supremum wartości x„ dla n>k

M_k= supx„=sup{x¹₊1,x_{k + 2},

n>k

Gdy k rośnie, wartość M_k może tylko maleć, a więc na podstawie twierdzenia o ciągu monofonicznym [34], w każdym bądź razie istnieje granica przy k-¹ oo

lim M_k,

skończona lub równa — oo.

Przypadek, gdy granicą tą jest — oo, łatwo omówić. Dla dowolnego E>0 istnieje taki wskaźnik k = N, że

M„<-E ;

ale dla n>N, mamy oczywiście x„<M„, więc dla wskazanych wartości n jest tym bardziej

1

Liczba 2e jest tak samo liczbą dowolną jak s. Formalnie można by z początku obrać nie e, a $e, wówczas na końcu otrzymalibyśmy e. Dalej podobnych uwag czynić już nie będziemy.

(²) Podany dowód twierdzenia nie korzysta z twierdzenia Bolzano-Weierstrassa, a pociąga je za sobą.