0245

§ 2. Zbieżność szeregów c wyrazach dodatnich

247

W takim razie

«^xo

f f(t)dt<-~ f f(t)dt;

1*0 *0

dodając do obu stron całkę J f(t)dt, otrzymujemy ^X0

«* , «^x» f f(t)dt< -jj— J f(t)dt*=L,

^x0 *0

i tym bardziej, wobec (12),

X

/ f(t) dt < L (x > *„) ■

*0

Ponieważ całka też rośnie, gdy rośnie x, przeto ma ona skończoną granicę dla x <x> równą

f /(O dt,

»0

a więc na mocy kryterium całkowego szereg (7) jest zbieżny.

Niech teraz będzie spełniona druga nierówność.

Wówczas

»'*    X

j /(/) dt > / f(t)dt,

_v^x0 *0

jeśli do obu stron nierówności dodamy całkę J f(t) dt, otrzymamy

«*°

J /(«) dt > j /(/) di = y > O

X    *₀

(bo na mocy (12) jest x₀<e^x0). Określimy teraz ciąg

-^1) • * ■» %n~l * ^n* * * •

przyjmując x„ — e¹"^-1. Na mocy udowodnionego wyżej jest

*n

/ /(/) dt > y ,

a więc

/ /(O dt = £ J f(t) dt > ny .

Jasne jest stąd, że

f f(i)di— lim J f{t)dt =+oo

^xo    ^X"^M*’ ^xu

i na mocy kryterium całkowego szereg (7) jest rozbieżny.

W przykładach z poprzedniego ustępu można łatwo ustalić zbieżność lub rozbieżność na podstawie udowodnionego przed chwilą kryterium.