0245

0245



§ 2. Zbieżność szeregów c wyrazach dodatnich

247


W takim razie

«xo


f f(t)dt<-~ f f(t)dt;

1*0 *0

dodając do obu stron całkę J f(t)dt, otrzymujemy X0

«* , «x» f f(t)dt< -jj— J f(t)dt*=L,

x0 *0

i tym bardziej, wobec (12),

X

/ f(t) dt < L (x > *„) ■

*0

Ponieważ całka też rośnie, gdy rośnie x, przeto ma ona skończoną granicę dla x <x> równą

f /(O dt,

»0

a więc na mocy kryterium całkowego szereg (7) jest zbieżny.

Niech teraz będzie spełniona druga nierówność.

Wówczas

»'*    X

j /(/) dt > / f(t)dt,

vx0 *0

jeśli do obu stron nierówności dodamy całkę J f(t) dt, otrzymamy

«*°

J /(«) dt > j /(/) di = y > O

X    *0

(bo na mocy (12) jest x0<ex0). Określimy teraz ciąg

-^1) • * ■» %n~l * ^n* * * •

przyjmując x„ — e1"-1. Na mocy udowodnionego wyżej jest

*n

/ /(/) dt > y ,

a więc

/ /(O dt = £ J f(t) dt > ny .

Jasne jest stąd, że

f f(i)di— lim J f{t)dt =+oo

xo    X"M*’ xu

i na mocy kryterium całkowego szereg (7) jest rozbieżny.

W przykładach z poprzedniego ustępu można łatwo ustalić zbieżność lub rozbieżność na podstawie udowodnionego przed chwilą kryterium.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
227 § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich 2) Rozpatrzmy teraz ogólniejszy
229 § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich to ze zbieżności szeregu (B) wynika zbieżność
231 § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich CD (c) V —-—    (p > 0) jest
233 § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich 368. Kryteria zbieżności Cauchy’ego i
§ 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich235 Rozpatrzymy tu jeszcze kryterium Raabego, oparte na
237 § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich Jf 0<a< + oo, to 6 = — i zachowanie się szere
239 § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich 371. Kryterium Kummera. Podamy teraz pewne bardzo o
241 § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich Kryterium Bertranda. Załóżmy, że ciąg {CX3I1} ma
243 §2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich Rozpatrzmy jakąkolwiek funkcję pierwotną F(x)
245 § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich Zrobimy teraz parę uwag w związku z dalszym
249 $ 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich Możemy otrzymać dokładniejszy wynik, jeżeli
251 § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich Zauważmy na zakończenie, że nawet dla szeregów o
253 § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich Skonstruowane przykłady prowadzą do następującej
Szeregi Przykady z książki 367) § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich 231 (a) V —-■  &
1 (57) 63 Zbieżność bezwzględna 3.46. Uwagi. Dla szeregów o wyrazach dodatnich zbieżność bezwzględna
4.1 Szeregi o wyrazach dodatnich Ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach dodatnich jest ciągiem rosn
1. Wyznaczyć zbiór zbieżności szeregu:y (-v + 3 r £-4 M nn n-I W* 7 2. Zbadać ciągłość w punkcie xo
SZEREG O WYRAZACH DODATNICH. SZEREG O WYRAZACH DOWOLNYCH 2. 1. Korzystając z kryterium porównawczego

więcej podobnych podstron