0245
§ 2. Zbieżność szeregów c wyrazach dodatnich
W takim razie
f f(t)dt<-~ f f(t)dt;
1*0 *0
dodając do obu stron całkę J f(t)dt, otrzymujemy X0
«* , «x» f f(t)dt< -jj— J f(t)dt*=L,
x0 *0
i tym bardziej, wobec (12),
X
/ f(t) dt < L (x > *„) ■
*0
Ponieważ całka też rośnie, gdy rośnie x, przeto ma ona skończoną granicę dla x <x> równą
f /(O dt,
»0
a więc na mocy kryterium całkowego szereg (7) jest zbieżny.
Niech teraz będzie spełniona druga nierówność.
Wówczas
»'* X
j /(/) dt > / f(t)dt,
vx0 *0
jeśli do obu stron nierówności dodamy całkę J f(t) dt, otrzymamy
«*°
J /(«) dt > j /(/) di = y > O
X *0
(bo na mocy (12) jest x0<ex0). Określimy teraz ciąg
-^1) • * ■» %n~l * ^n* * * •
przyjmując x„ — e1"-1. Na mocy udowodnionego wyżej jest
*n
/ /(/) dt > y ,
a więc
/ /(O dt = £ J f(t) dt > ny .
Jasne jest stąd, że
f f(i)di— lim J f{t)dt =+oo
xo X"M*’ xu
i na mocy kryterium całkowego szereg (7) jest rozbieżny.
W przykładach z poprzedniego ustępu można łatwo ustalić zbieżność lub rozbieżność na podstawie udowodnionego przed chwilą kryterium.
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
227 § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich 2) Rozpatrzmy teraz ogólniejszy229 § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich to ze zbieżności szeregu (B) wynika zbieżność231 § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich CD (c) V —-— (p > 0) jest233 § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich 368. Kryteria zbieżności Cauchy’ego i§ 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich235 Rozpatrzymy tu jeszcze kryterium Raabego, oparte na237 § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich Jf 0<a< + oo, to 6 = — i zachowanie się szere239 § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich 371. Kryterium Kummera. Podamy teraz pewne bardzo o241 § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich Kryterium Bertranda. Załóżmy, że ciąg {CX3I1} ma243 §2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich Rozpatrzmy jakąkolwiek funkcję pierwotną F(x)245 § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich Zrobimy teraz parę uwag w związku z dalszym249 $ 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich Możemy otrzymać dokładniejszy wynik, jeżeli251 § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich Zauważmy na zakończenie, że nawet dla szeregów o253 § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich Skonstruowane przykłady prowadzą do następującejSzeregi Przykady z książki 367) § 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich 231 (a) V —-■ &1 (57) 63 Zbieżność bezwzględna 3.46. Uwagi. Dla szeregów o wyrazach dodatnich zbieżność bezwzględna4.1 Szeregi o wyrazach dodatnich Ciąg sum częściowych szeregu o wyrazach dodatnich jest ciągiem rosn1. Wyznaczyć zbiór zbieżności szeregu:y (-v + 3 r £-4 M nn n-I W* 7 2. Zbadać ciągłość w punkcie xoSZEREG O WYRAZACH DODATNICH. SZEREG O WYRAZACH DOWOLNYCH 2. 1. Korzystając z kryterium porównawczegowięcej podobnych podstron