0225

227

§ 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich

2) Rozpatrzmy teraz ogólniejszy szereg

oo

Z

—-1+—....

n*    2*    3‘    n^s

gdzie i jest dowolną liczbą rzeczywistą. Obejmuje on poprzedni szereg jako przypadek szczególny (dla s = = I). Przez analogię z szeregiem I) szereg ten nazywa się także harmoniczny.

Ponieważ dla s< I wyrazy tego szeregu są większe od odpowiednich wyrazów szeregu I), więc w tym przypadku sumy częściowe tym bardziej nie są ograniczone z góry, a więc szereg jest rozbieżny.

Zajmiemy się przypadkiem, gdy s> I. Oznaczmy dla wygody s = I + <r, gdzie n>0.

Analogicznie do (I) otrzymamy tym razem

I ,    1    ,    , I ___1 _ _I_

n^a '

(2)

■ +

+ ... +

(»+1Y (»4-2)’ Wydzielając, tak jak wyżej, kolejne grupy wyrazów

-T-!— < ;i- —

(2 /?)’    n^a

I

_l_

4*

_L₊_L + J_ ₊ J_ _L+ +_L

5*    6’ V 8’ ’    9*    16’

-!_+... + -I-

₍2‘+> + ])' (2^k)‘

2 2² 2³ 2*~*^ł łatwo można wykazać za pomocą (2), że sumy te są odpowiednio mniejsze od wyrazów ciągu geometrycznego

i i _ i    i __• i _ i

(2^Ł-1)° (2^a)‘-¹

2“ ’ 4^a (2^a)² ’    8"    (2⁰)³ ’

Jasne jest stąd, że którąkolwiek z sum częściowych rozpatrywanego szeregu weźmiemy, będzie ona mniejsza od liczby

I

i.= l + -2- + .

I -

a zatem szereg jest zbieżny.

Jego suma zależna od sjest słynną funkcją £ (s) Riemanna, która odgrywa ważną rolę w teorii liczb.

366. Twierdzenia o porównywaniu szeregów. Zbieżność lub rozbieżność szeregu dodatniego ustala się często przez porównanie go z innym szeregiem, o którym wiadomo, że jest zbieżny lub że jest rozbieżny. Podstawą takiego porównywania jest następujące proste twierdzenie:

Twierdzenie I. Niech będą dane dwa szeregi dodatnie

(A)	CO y] fl„ = a, +a2+ . n—1	.. +an +
i	00
(B)	y bn = b1 + b1+ ..	+ ó„ +

/?—1

Jeśli poczynając od pewnego miejsca {powiedzmy dla n > N) zachodzi nierówność a„ < b_H, to ze zbieżności szeregu (B) wynika zbieżność szeregu (A) albo, co na to samo wychodzi, z rozbieżności szeregu (A) wynika rozbieżność szeregu (B).

15*