0233

§ 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich

235

Rozpatrzymy tu jeszcze kryterium Raabego, oparte na porównaniu danego szeregu (A) z szeregami harmonicznymi — zbieżnym

(H,)

i rozbieżnym (H)

VII 1    1

lj'^ ^{= l +} ^⁺l^{r +} - ⁺ lF ⁺ - ^(s>1)

n*l

V i    , l    i    l

> - = l + -_T + -_r+...+ — + ... Z—i n    2    3    n

za pomocą twierdzenia 3. Trzeba przy tym rozpatrywać ciąg Raabego o wyrazach

Kryterium Raabego. Jeżeli dla dostatecznie dużych n spełniona jest nierówność

^CRn>r,

gdzie r jest liczbą większą od jedności, to szereg jest zbieżny, jeżeli natomiast poczynając od pewnego miejsca jest

°dn < 1 .    '

to szereg jest rozbieżny.

Niech więc będzie dla dostatecznie dużych n

> r > 1, czyli

a. . r -2— >1+ — n

0i.+

Weźmy teraz dowolną liczbę 5 zawartą między 1 i r : r > s > 1. Ponieważ na mocy znanego już wyniku [77, 5)] jest

lim

KJ-

1

= s,

więc dla dostatecznie dużych n będzie

a zatem

1+ —I -1

n

T

n

< r,

a»+i

(^{l +} t)'^{sl +} T