0243

245

§ 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich

Zrobimy teraz parę uwag w związku z dalszym wykorzystaniem nierówności (9). a) W przypadku istnienia skończonej granicy

lim F (x) = F ( + co)

można wskazać wygodne oszacowanie reszty danego szeregu. Sumując mianowicie nierówności

< F(k)—F{k— 1) < a_k-_t dla k = n +1, ..., n+m otrzymujemy

n+m    n+m—1

y¹ a_k < F(n + m) — F(ri) < y a_k .

k-n+l    k-n

Przejdźmy do granicy zwiększając nieskończenie m, otrzymamy

<F( + oo)-F(n)<y^a_ł

fc—n+-l    k=n

lub

(10)

F( + oo)-F(n + l) < a_k < F( + od)-F(/i) .

*-n+l

Daje to szukane oszacowanie zarówno od góry, jak i od dołu (^ł).

eo    j

Na przykład dla szeregu ^ --_1+ir (a > 0) będzie

n=i

/W = ^_r,    F(x)=-g-, F (+ co) = 0,

01)

JL . _L_ ^ y _!_< 1.1-

<7 (n + iy    k^1+a a n^a

k-n+l

b) Jeżeli natomiast funkcja F(x) rośnie do nieskończoności wraz z x, to funkcja ta pozwala ocenić szybkość wzrostu sum częściowych danego szeregu. Rozpatrzmy nierówności

_ 0 </(fc)-[F(A: + l)-F(A:)] <f(k)-f(k + l) .

n+m

(') Ponieważ F(n+in)—F(n) = J/(() dl, więc przechodząc do granicy przy m -*■ co otrzymujemy

W

całkę niewłaściwą

+00

F(+oc)-F(n)=

n

Wobec tego nierówności (10) można napisać w postaci

UOa)    / /(/) dt < J    J f(k) < / /(i) *.

n+i    k-n+i k-n+l    n