0229

231

§ 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich

CD

(c) V —-—    (p > 0) jest rozbieżny, bo (ln n)* < n (dla dostatecznie dużych n);

Z-j (ln n)^w <0

(d) V — jest zbieżny, bo — < (dla n > 3); Z_i n"    /i* n²

(e) > -^- jest zbieżny, bo

(In n)‘“"

(In n)

*    • < -4r (dla dostatecznie dużych n);

eo

(f) V-L_

(ln In n)

oo

(g) V-i- jest rozbieżny, bo -5- =--—-

“* (ln n)^lBl”    (ln n)^,nln" _e⁽'^a‘ⁿ">

jest zbieżny, bo -=

(In In «)^In"    „<»•«'«» n

¹    < (tak samo);

> —-— = —    (tak samo).

n

8) Na mocy twierdzenia 2 szereg

(a)

CD

-- (b > 0) jest zbieżny dla s > 1, rozbieżny dla s < 1, bo

(a+bn)’

1 .11

(a + bn)’ ‘ n‘ 6*’

¹    :-^l;

(b) V —-—    jest rozbieżny, bo

ZmJ    */—    "/—    n

••i nyn    nyn

00

(c)    sin — (0 < x < 7r) jest rozbieżny, bo sin    oraz analogicznie są rozbieżne

Z_i n    n n 0*1

szeregi

^!n^l+-^-j (x > 0) i    ^— * {a \)\

00

(d) V (l—cos —| jest zbieżny: 1—cos — : -4r Z_i \    n}    n n² 2

H-l

9) A oto bardziej skomplikowane przykłady tego rodzaju:

(a)    ^1 — iⁿj . Oznaczmy przez x„ stosunek ogólnego wyrazu tego szeregu do 1/n, wtedy

Jl*l

ln x„ = ln n+rt In ^1— *ⁿ .

Posługując się rozwinięciem ln (1 + x), o którym była mowa w 125, 5) możemy napisać gdzie *. -► 0, gdy n -*• oo. Dlatego

.    1 ln²n , ln²« _n

ln x_H = - -----l-a»---- 0 ,

2 n    n

a zatem jc. -»• 1 i badany szereg jest rozbieżny.