0247

249

$ 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich

Możemy otrzymać dokładniejszy wynik, jeżeli wychodząc z oczywistej równości

£(l + <r) = 1+ —!_+ ... +

,,1+ff    Łl-MT

'    l-n+l ^K

2i+^ff

zastosujemy nierówność (11) przy dowolnym n:

1+ ■

1

ii

+ ... +

——h — [—^!--ll < CO-l-o)- — < l+—!—+ ..

n¹+^ff a [(«+!)'    J    o 2^,+ff

_L_ ₊ ±/JL_iV

„i+o a    )

Przechodząc tu do granicy, gdy a -*■ 0, otrzymujemy

±

2

1+4-+- + — -ln(i»+l) <lim h (|+a)--L] < lim |>(l + a)- ±] < l+i-+ ...

"    ^CTJ *-<>[ ^a\ ²

... + — —ln n (•).

Wreszcie przejdziemy z n do nieskończoności. Ponieważ pierwszy i ostatni człon nierówności dążą przy tym na mocy wzoru (4) z ustępu 367 do stałej Eulera C, zatem granica górna i granica dolna pokrywają się i istnieje zwykła granica równa

C.

lim    (1 +tr)—L]

a-o l    a J

Wyniki te należą do Dirichleta.

2) Niech wyrazy szeregu (A) monofonicznie maleją. Wówczas szereg (A) jest zbieżny lub rozbieżny

00

równocześnie z szeregiem V 2^ta₁t (Cauchy).

jfco

Rzeczywiście, z jednej strony jest

Ai^k < a’i + (o2 + flj)+    +(fl2*+ ••• <*2^lł,-i) < ffi + 2r/₂+ ... +2*02* ,

z drugiej zaś strony,

A 2* — Ol -j-tf2'f    —1“ ZZ4) -|- ... -f-(ć/2^t‘^I+1 + ... +#2*) >

> ja,-\-a₂ + 2a₄+ ... -j-2^k~'a2‘ = y (^fli-l-2«2 + 4fl4+ ... -E2^Ł ZZ2*) •

Stąd wynika żądany wniosek.

Na przykład szereg — zachowuje się lak samo jak szereg

OO

Z¹

1-0

w widoczny sposób rozbieżny.

C) Na razie nie wiemy, czy istnieje granica wyrażenia £ (1 +0)— —, gdy o -*-0i dlatego posługujemy się granicą górną i dolną [42]. Granice wyrażeń “    *] ‘ ~    ^— * j znajdujemy we

dług wzoru 77, 5), (b).