0251

253

§ 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich

Skonstruowane przykłady prowadzą do następującej tezy o znaczeniu zasadniczym. Żaden szereg zbieżny (rozbieżny) nie może być uniwersalnym środkiem do stwierdzenia przez porównanie z nim (') zbieżności (rozbieżności) innych szeregów.

Wynika to stąd, że

-.-✓57

oraz

d_n

d‘

Dn~ Al-I

= /aT+v/aT7

-fcc .

8) Niech będą dane dwa ciągi liczb dodatnich

«1, A], ...» A» ...    1 Ól, il, ..., b_H,

Jakiekolwiek weźmiemy n, dla pierwszych n- liczb tych ciągów będzie zachodziła nierówność Cauchy’ego-Hóldera

£ ^b> <

l-l

ii>;r G>rr

i nierówność Minkowskiego

i-i    i-i    i-i

[133, (3) i (7)]. Tutaj k jest dowolną liczbą większą od 1, a k' inną liczbą większą od jedności i związaną z k zależnością

Przechodząc w tych nierównościach do granicy przy n -*■ oo, otrzymujemy podobne nierówności dla szeregów nieskończonych

oraz

I-i    4-1    (-1

przy czym ze zbieżności szeregów występujących po prawych stronach wynika zbieżność szeregów po lewych stronach.

§ 3. Zbieżność szeregów dowolnych

376. Ogólny warunek zbieżności szeregu. Przejdźmy do zagadnienia zbieżności szeregów, których wyrazy mogą mieć dowolne znaki. Ponieważ z definicji zbieżność szeregu

00

(A)    = a_t + a₂+ ... +fl„+ ...

I*»l

(’) Na podstawie któregokolwiek z twierdzeń z ustępu 366.