0227

229

§ 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich

to ze zbieżności szeregu (B) wynika zbieżność szeregu (A) albo, co na to samo wychodzi, z rozbieżności szeregu (A) wynika rozbieżność szeregu (B).

Dowód. Podobnie jak wyżej w dowodzie twierdzenia 1, można uważać, nie zmniejszając ogólności, że nierówność (3) zachodzi dla wszystkich wartości n — 1, 2, 3,... W takim razie jest

^ai ^ ^2 ^a3 <-- b₃    a,,    b„

o 1    ^2    fln-l ^ ^n-l

Mnożąc te nierówności stronami otrzymujemy

czyli a_H^-~b„ (n = 1,2,3....).

Niech szereg (B) będzie zbieżny, wówczas szereg N -^-i- otrzymany przez pomnożenie jego wyrazów przez stały czynnik też będzie zbieżny, a wówczas na mocv twierdze-nia 1 będzie zbieżny szereg (A), c.b.d.o.

Przejdźmy teraz do przykładów ustalania zbieżności i rozbieżności szeregów przez bezpośrednie zastosowanie twierdzeń porównawczych.

367. Przykłady

n— 1

Jeśli a < 1, to nie jest spełniony warunek konieczny zbieżności [364, 5°] i szereg jest rozbieżny. Dla

V/¹ V

q>l, wyrazy szeregu są mniejsze od odpowiednich wyrazów szeregu zbieżnego / , [~f i szereg jest

n

zbieżny (twierdzenie 1).

V* («!)*

2) / _t ^ . Szereg jest zbieżny, bo

(n!)²

(2n)!

2"(2/j— I)!! ^< 2"

(twierdzenie 1).

OD ft—l

Ponieważ

2" sin-

3"

(0 < jt < 3tt) .

a szereg

m >

2" sin — < x

(ł)'

jest zbieżny, dany szereg jest też zbieżny (twierdzenie I). 00

V¹ 1

4) Rozpatrzmy znowu szereg harmoniczny    i porównajmy go z na pewno rozbieżnym szere

giem

00    .    V

[363,3)1 .

^[ln(/i+l)-ln n\ = ^Tln (l+-M