0241

243

§2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich

Rozpatrzmy jakąkolwiek funkcję pierwotną F(x) funkcji /(*). Ponieważ jej pochodna F'(x) = f(x) > 0, funkcja F(x) rośnie wraz z x i dla x -*■ + oo ma na pewno granicę skończoną lub nieskończoną.

W pierwszym przypadku szereg

00

(8)    £[F(« + 1)-F(n)]

jest zbieżny, a w drugim rozbieżny. Z tym szeregiem porównamy szereg badany.

Według wzoru Lagrange’a ogólny wyraz szeregu (8) można przedstawić w postaci

F(n + l)-F(/>) = f(n + 0)    (0 < 0 < 1),

a więc wobec monotoniczności funkcji f(x) będzie

(9)    a„_+t =/(« +1) < F(« + 1)-F(n) </(n) = a„ .

OO

W przypadku zbieżności szeregu (8) na mocy twierdzenia 1 jest zbieżny szereg £ a_a+i =

OO

= £/(_w + l), którego wyrazy są mniejsze od odpowiednich wyrazów szeregu (8), a zatem

/I— 1

jest zbieżny także dany szereg (7). W przypadku rozbieżności szeregu (8) jest rozbieżny także szereg (7), bo jego wyrazy są większe od odpowiednich wyrazów szeregu (8).

Dochodzimy w ten sposób do następującego ciekawego kryterium, które odkrył najpierw Maclaurin w postaci geometrycznej; następnie kryterium to zostało zapomniane i potem na nowo odkryte przez Cauchy’ego.

KRYTERIUM CAŁKOWE. Przy wyżej zrobionych założeniach, szereg (7) jest zbieżny łub rozbieżny w zależności od tego czy funkcja

F(x) = jf(x)dx

ma dla n -* cc granicę skończoną, czy nie.

Podamy przykłady zastosowania tego kryterium (oprócz przykładów rozpatrywanych w ustępie 367).

u y—■— (c > o,

..2 « In^,+ff«

Tutaj /(jr) =-!-; F(x) --?-->-0, gdy x -* +oo; szereg jest zbieżny.

jfln^1+<Fjc    <j|n"jc

~ n In n In In n

«*3

Mamy f(x) —-^l--; F(x) = In In ln x -+ + oo; szereg jest rozbieżny.

x In x In In x

3) V -!- (a > 0).

„.3 n ln n (ln In n)^1+a

16*