Szeregi Przykady z książki

367)

§ 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich

231

(a) V —-■    --- jest rozbieżny, bo

o *_i V«(rt+1)

« 1 11 (b) y ___jest zbieżny, bo    • < —;

.“Ti V«("^J+D

<^c> y

o.2

(Inn)*

(/>>0) jest rozbieżny, bo (ln«)^ł’< n (dla dostatecznie dużych n) ;

n\ 2

(d) V — jest zbieżny, bo — <—    (dlan>3);

„n    „n _nl

*= I

^w i ^2b,cżn>' ^    "^-4

(dla dostatecznie dużych ri) ;

< — (tak samo);

^<0 £(tatartS-' jcsl /bieżny, bo

® i    *“ ^ro2bicż"^y’^1,0    “ 7PST > ;ć - 7 <“* “^m°> •

0 = 3

8) Na mocy twierdzenia 2 szereg

00    J

(a) y

1 1 1

-- —;    (b>0) jest zbieżny dla *> 1, rozbieżny dla s< 1, bo --—=:

{a+bnY³    (a+bn)^s rf V

1 1

(b) V —- jest rozbieżny, bo---~ : —*■ 1 ;

r,^¹"    ■ ⁿV" ⁿ

x    X 1

(c)    y sin — (0 < x < ir) jest rozbieżny, bo sin -:--► oraz analogicznie są rozbieżne szeregi

n    n n

«-l

00    i    v    OC

yin lf- (X > 0) 1 y tfT I (C* 1);

n-l    '    ⁿ’    n-1

^ /    X \    X    1    X^

(di y 11 — cos—)    jest zbieżny: 1 -    cos— :--*■—.

^v' ^ \    ni    n    ni    2

n-t

9) A oto bardziej skomplikowane przykłady tego rodzaju:

•/ lnn\«»

(a) y 11--J .Oznaczmy przez x» stosunek ogólnego wyrazu tego szeregu do 1 /n, wtedy

/ ln/t\

lnxii=lnn+nlnn—■

Posługując się rozwinięciem ln(l+x), o któryrri-fcyła mowa w 125, 5) możemy napisać

/ In/Ą Inn 1 /In«\² /lnn\²

-O-—)—=--a(—)

gdzie «« -*■ 0, gdy n -* oo. Dlatego

1 ln² n    ln² n

lnx*=> - •--+a_n---►O,

2    n    n

a zatem x* -*• 1 i badany szereg jest rozbieżny,