214(1)

4) Dla danego szeregu o wyrazach dowolnych nie jest spełniony warunek

konieczny zbieżności, bowiem lim a„ = lim sin nie istnieje (por.

n->+ co    **

rozwiązanie zad. 40(3)).

Zatem szereg ten jest rozbieżny.

4- oo

988. Wykazać, że szereg przemienny V    jest zbieżny oraz obli-

n=l

czyć przybliżoną wartość jego sumy z dokładnością do 0,01.

Rozwiązanie. Zbieżność szeregu wykażemy stosując kryterium Leibniza. Stwierdzamy, że jego wyrazy maleją co do wartości bezwzględnej

oraz, że lim ja„J = lim — *-r- = 0, a więc szereg jest zbieżny.

«-*+«> ⁿ • ¹

Z kolei obliczamy kilka kolejnych początkowych wyrazów szeregu aż do wyrazu, który eo dó wartości bezwzględnej nie przekracza 0,01. Mamy

1

1

^ai- ₂ >    '₉»

o i

1

28 ⁵

1

1

126

Zgodnie z przytoczoną własnością szeregów przemiennych zbieżnych, dotyczącą oszacowania reszty szeregu, aby obliczyć sumę danego szeregu z dokładnością do 0,01 wystarczy ograniczyć się do sumy czterech wyrazów początkowych; otrzymujemy

1 1

4- 00

zL «³+l

(-1)"

n=l

W zadaniach 989—992 napisać sześć początkowych wyrazów szeregu oraz zbadać jego zbieżność:

989,

990.

-f CO

i (-1)"-¹

n= 1 4- CO

V (-1)” id V²ⁿ+^l

991.    (—l)°cos ■

992.

+ 00

V"! sin na

/!= 1

Zbadać zbieżność szeregów:

1 1.1

1

ln 2    21n 4 ¹ 31n6    41n8

4<»

994*.    (—l)"tg _n

n=l

1

Wykazać, że dany szereg przemienny jest zbieżny, a następnie obliczyć z dokładnością do 0,01 przybliżoną wartość jego sumy:

997. 1 —-₂T+'34 ^—-'44'+ •••

§ 3. Szeregi funkcyjne

Szereg

^ U„(x) = U_l(*)+K₂(*) + W3(*)+ —

którego wyrazy są funkcjami zmiennej x, nazywamy szeregiem funkcyjnym.

Dla różnych wartości x z szeregu funkcyjnego otrzymuje się różne szeregi liczbowe, które mogą być zbieżne lub nie.

Zbiór tych wartości x, dla których szereg funkcyjny jest zbieżny, nosi nazwę obszaru zbieżności danego szeregu.

Ze. wszystkich szeregów funkcyjnych najprostsze i zarazem najczęściej stosowane są szeregi potęgowe o postaci

O)

albo, o postaci ogólniejszej

-f*oo

Obszarem zbieżności każdego szeregu potęgowego jest pewien przedział

^0SI liczbowej, symetryczny względem punktu x — 0 (dla szeregu 1) albo względem punktu x = .v₀ (dla szeregu 2). Przedział ten może być domknięty, otwarty lub półotwarty.

Przy wyznaczaniu obszaru zbieżności szeregów funkcyjnych zwykle ko-

^fzysta się najpierw z kryterium d'Alemberta, a potem bada się odrębnie, za łomocą innych kryteriów, zbieżność szeregu dla tych wartości x, dla których

k^ryterium d’Alemberta nie rozstrzyga zbieżności (tj. dla których Q = 1)

431