10793 skanuj0009 (302)

j.2. Szeregi liczbowe 71

Będziemy teraz rozważać szeregi o wyrazach dowolnych.

OC

Definicja 4.48. Niech będzie dany szereg Y a_n o wyrazach rzeczywistych

n— 1

oo    oo

a_n 6 R. Szereg Y ^an nazywamy bezwzględnie zbieżnym, jeśli szereg Y |<i_n|

n=1    n—1

jest zbieżny.

oo

Twierdzenie 4.49. Niech (a_n)^^<L₁ C R. Jeśli Y a_n jest bezwzględnie zbieżny,

n=1 oo

to Y, ^an jest zbieżny.

n= 1

oo

Dowód. Niech szereg Y l^an| będzie zbieżny. Przedstawmy ciąg a_n w nastę-

n— 1

pujący sposób: a_n = a_n - (3_n, gdzie j3_n = O, jeśli a_n ^ O i a_n = O, jeśli a_n < 0. Wówczas O ^ a_n ^ |a_n| oraz O ^ (3_n ^ |a_n|. Stosując kryterium porównawcze

OO    OC

(twierdzenie 4.43) widzimy, że szeregi Y ^ani Y Pn są zbieżne. Zatem zbieżne

n=1    n=l

są także ciągi:

PN —    + ^a2 + • • * + &N, QN — Pl + @2 + • * ' + Pn-

Zbieżny jest również ciąg    — a] 4- ai + • • • + a/v — sn, co oznacza, że

oo

zbieżny jest także szereg Y ^an-    □

n=1

Następne dwa kryteria są podstawowymi kryteriami zbieżności bezwzględnej szeregów, jak również zbieżności szeregów.

Twierdzenie 4.50 (kryterium Cauchy’ego zbieżności szeregów). Niech

{^an)%Li c R.

OC

(1)    Jeśli lim wTaJ < 1, to szereg Y ^an i^esl bezwzględnie zbieżny.

ⁿ~*°°    _n= 1

oc

(2)    Jeśli lim y/\a_n\ > 1, to szereg Y ^an jest rozbieżny.

^n—>°°    _n=1

OO y    x 2;

Przykład 4.51. Szereg Y (t+5n ) J^est zbieżny, ponieważ:

n= 1 '    '

lim

n—>oc

4n + 1 \ 8 + 5ny

n

3

lim

n—+oo

/ 4n + 1 \ \8 + 5n/

< 1.