0235

237

§ 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich

Jf

0<a< + oo, to 6 = — i zachowanie się szeregu zależy od x, dla x<a szereg jest zbieżny, dla x~>a jest a

rozbieżny. W przypadku x=a nie można nic powiedzieć ogólnie o zbieżności szeregu, zależy ona od sposobu zmierzania a„ do a.

2) Zastosujemy kryterium d’Alemberta do następujących szeregów:

« n

(a)    1 + Xj -^y (* > °). A = yyyy-, ® = 0; szereg jest zbieżny.

³⁰    n+\

(b)    nx"~¹ (x> 0), ©„ =x- -, ® = x; szereg jest zbieżny dla x< 1 i rozbieżny dla x > 1

n»l    ^

(dla x = 1 stwierdzamy to bezpośrednio).

»    /    \ S

— (x > 0, s >• 0); ©„ — x (    1 , © = x. Szereg jest zbieżny dla *<1 i rozbieżny

ly x = 1, ot

S-fcJ

(C)

x> 1. Gdy x = 1, otrzymujemy szereg harmoniczny, którego zachowanie zależy, jak wiemy, od s.

dla

(d)

(x > 0), q>„ =

K)‘

, 2) = — ; dla x<e szereg jest zbieżny, dla x>e jest

e

rozbieżny dla x — e graniczna postać kryterium d’Alemberta nic nie daje, ale ponieważ ^1 + dąży

do e rosnąc, jest stale ©„> 1 i pierwotna postać kryterium d’A1emberta pozwala jednak wnosić o rozbieżności szeregu.

®    /    V||    /    j \ "

(e)    ^ *_t (x > 0), ©„ = x (1H--1 , © = jre; dla x<l/e szereg jest zbieżny, dla x>l/e jest

rozbieżny, dla x — l/<? nie możemy w tym przypadku za pomocą kryterium d'Alemberta nic stwierdzić, gdyż ©, przybliżają się do ®=1 od dołu. Powrócimy do tego przypadku niżej w przykładzie § 5) (c).

3) Weźmy szereg

l+a+ab + a²b+a²b²-\- ... H-d'^,ó"^_1 + n^,,6"-|- ... ,

gdzie a i b są dwiema różnymi liczbami dodatnimi. Tutaj ‘An-i = a, ®2.. — b i kryterium d’Alemberta (w formie pierwotnej) pozwala tu stwierdzić zbieżność lub rozbieżność szeregu tylko wtedy, gdy obie liczby a i b są mniejsze od jedności albo obie większe.

Tymczasem jest

(5)    e,.-, = ²"    i e₂„ -

a więc £ = ^ab i na mocy kryterium Cauchy’ego szereg jest zbieżny, gdy ab< 1, a gdy ab> 1 (i oczywiście także gdy ab = 1), szereg jest rozbieżny.

00

4) Rozpatrzmy szereg ^t(«).v", gdzie jc>0 i r («) oznacza liczbę dzielników liczby naturalnej n.

n- l

Wobec kapryśnego prawa zmienności funkcji t (//) nie można tu zastosować kryterium d’Alemberta. Tymczasem kryterium Cauchy'ego daje się w pełni zastosować:

x < e„ = V^T («)■* < V»-x,

a więc <? = x i dla .v< I szereg jest zbieżny, a dla ar>l (i oczywiście także dla x = 1) jest rozbieżny.

S) Przytoczymy przykłady zastosowania kryterium Raabego.

(a) 1 +

y (2/1—1)!!

.tl

1

2n+l ‘