0231

233

§ 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich

368. Kryteria zbieżności Cauchy’ego i d’Alemberta. Porównanie danego szeregu

oo

(A)    = fli+ajH- ... +a„+ ...

K“1

z różnymi szeregami standardowymi, o których wiadomo, że są zbieżne lub że są rozbieżne, można przeprowadzić w inny, że tak powiemy, bardziej planowy sposób.

Weźmy dla porównania jako szereg (B) z jednej strony zbieżny szereg geometryczny

00

= q + q²+ ... +q” + ...    (0 < q < 1),

n-1

a z drugiej strony rozbieżny szereg

£jl = l + l + l+ ... +1+ ...

Porównując badany szereg (A) z tymi szeregami według schematu danego przez twierdzenie 1, otrzymujemy następujące kryterium:

Kryterium Cauchy ego. Utwórzmy dla szeregu (A) ciąg o wyrazach

Qn = Yal-

Jeśli dla dostatecznie dużych n spełniona jest nierówność

gdzie q jest liczbą mniejszą od jedności, to szereg jest zbieżny, jeśli natomiast począwszy od pewnego miejsca jest

e_K > 1,

to szereg jest rozbieżny.

Rzeczywiście, nierówności y~a_n < q lub ^ 1 są równoważne odpowiednio z nierównościami a_n < q” lub a„ > 1. Pozostaje zastosować twierdzenie 1 (^l).

Częściej jednak stosuje się to kryterium w postaci granicznej.

Załóżmy, że ciąg {£?„} ma granicę (skończoną łub nieskończoną)

lim G _n = 6 .

Wówczas jeśli 6 < 1, to szereg jest zbieżny, a jeśli Q > l, to szereg jest rozbieżny.

Jeżeli C < 1, weźmiemy liczbę dodatnią e mniejszą od 1 — Q, tak że (?+e < 1. Z definicji granicy będzie dla n > N

G-e < Q_n < G+e .

Liczba G + e odgrywa tu rolę liczby q z poprzedniego sformułowania, szereg jest więc zbieżny.

Jeżeli G > 1 i skończone, to biorąc e = <2 — 1, tak że G—e = L będziemy mieli teraz dla dostatecznie dużych n nierówność G„ > 1, szereg jest więc rozbieżny. Analogiczny wynik otrzymamy dla Q — + oo.

(‘) Rozbieżność szeregu można oczywiście wykazać powołując się po prostu na to, że nie jest spełniony konieczny warunek zbieżności [364, 5°].