0249

251

§ 2. Zbieżność szeregów o wyrazach dodatnich

Zauważmy na zakończenie, że nawet dla szeregów o wyrazach monofonicznie malejących warunek

S winn '

(13) nie jest bynajmniej warunkiem dostatecznym zbieżności. Widać to z przykładu szeregu I

4) Jeżeli szereg d, jest rozbieżny, a D„ oznacza jego n-tą sumę częściową, to szereg    jest

ŚJL

— 1 n

łl-1

R-l

także rozbieżny, podczas gdy szereg y,    (a>0) jest zbieżny (N. Abel i U. Dini).

Jest

^ d,+i + ... -I-d.tm _ D.

D,+t    ^u*+m    D„+_m

Jakkolwiek duże weźmiemy //, można zawsze dobrać takie m, żeby było

——— < —,    a zatem

0,+m    2

ECtfi

~p~ nie spełnia podstawowego warunku zbieżności [364, 5°] i jest rozbieżny.

R-l

*> d

Swą

£_1+<f posłużymy się chwytem podobnym do chwytu zastoso-

R-l    R

c dx _ II

wanego przez Cauchy'ego [373]. Dofunkcji J — ~ ~a ' ^w przedziale od x = D.-i do x =D„ zastosujemy wzór Lagrange"a

^fl(c, °:)

gdzie D,-, < D_n < D,

« \ n" n” I d*¹*"

n

Tak więc wyrazy rozpatrywanego szeregu są odpowiednio mniejsze od wyrazów zbieżnego szeregu

cc    /    v

YU-L—L-)

Ł-i o \ D° D’ /

«• 1    \ n—1    n /

co dowodzi wypowiedzianej tezy.

5) Jeżeli szereg c,jest zbieżny, a y„ oznacza n-tą resztę, to szereg ^    —jest rozbieżny, pod-

»•!    n-l

czas gdy szereg

90

n-l '"-¹

(0< a < 1)

jest zbieżny (Dini).

Dowód analogiczny jak poprzednio.

6) Następujące kryterium zostało niedawno podane przez N.A. Sapogowa: Jeżeli ciąg («„) o wyrazach dodatnich jest monofonicznie rosnący, to szereg

tak samo jak szereg

R-l    /

jest zbieżny, jeżeli ciąg ten jest ograniczony, i rozbieżny w przeciwnym przypadku. Przyjmijmy dla n =* I, 2, 3,...

R

dn — Wj+j—w*,    dit ⁼ w«+i Ui ,