25856

rozbieżny, stosujemy do uzasadniania rozbieżności niektóiych szeregów.

2.2 KRYTERIA ZBIEŻNOŚCI SZEREGÓW

Tw. 2.2.1 (kryterium całkowe)

Niech funkcja f: [n₀, ©o) —»[0, oo) gdzie noG JV, będzie nierosnąca. Wówczas

szereg f(n) jest zbieżny <=> całka J f(*)dx jest zbieżna.

•H -

Uwaga. Reszta tego szeregu, to jest wyrażenie ^    0, spełnia oszacowanie:

i»n

n.l    n

₍ , 1 Fakt 2.2.2 (zbieżność szeregów postaci > —- )

1    [ zbiezny dla p > 1

^SZe,e8    ie5'[rozbieżny dla pSl'

Tw. 2.2.3 (Kryterium porównawcze)

1.    0 £ a„5ł b_n dla każdego ]    ^

n>n₀    | => szereg jest

~    zbieżny.

2. szereg    jest

n-l

zbieżny

Uwaga. Jeżeli założenie 2 ma postać „szereg ^ o„ jest rozbieżny”, to w tezie otrzymamy: „szereg

n-l

y. b_n jest rozbieżny”.

Tw. 2.2.4 (kryterium ilorazowe)

a

Niech a,„ b_n > 0 dla każdego n > tio oraz niech Um = k _t gdzie 0<k<°o. Wówczas szereg jest zbieżny <=> szereg jest zbieżny.

n=l    n=l

Tw. 2.2.5 (Kryterium d’Alemberta)