0341

343

§ 9. Sumowanie szeregów rozbieżnych

Przykład. 1) Szereg rozpatrywany przez Eulera

1-14-1-1 + 1-1+ ...

już z samej definicji prowadzi tu do szeregu potęgowego, którego suma 1/(1+x) dąży do 1/2, gdy x -*■ ->-1—0. Wobec tego liczba 1/2 jest rzeczywiście sumą uogólnioną wspomnianego szeregu w sensie przed chwilą sprecyzowanym.

2) Weźmy przykład ogólniejszy. Szereg trygonometryczny

(2)    + y cos nO

R-l

jest rozbieżny dla wszystkich wartości 0 z przedziału (—ir, n).

Rzeczywiście, jeżeli 0 ma postać 4--w, gdzie p i q są liczbami naturalnymi, to dla wartości n rów-

<ł

nych wielokrotnościom q będzie

cos hO = ±1,

nie jest więc spełniony warunek konieczny zbieżności. Jeśli zaś stosunek 0/rr jest niewymierny, to po rozwinięciu go w nieskończony ułamek łańcuchowy i wzięciu reduktów m/n tego ułamka będziemy, jak wiadomo, mieli

—---— < -1—, skąd \nd—mK\ <—.

7t n rr    n

Dla nieskończenie wielu wartości n będzie więc zachodziła nierówność

|cos «0± 11 < —, skąd |cos n0| > 1 — —.

n    n

co również świadczy o tyra, że nie jest spełniony konieczny warunek zbieżności.

Jeśli utworzymy szereg potęgowy

1    °°

—+ Vr" cos nB (0 < r < 1)

²    ..i

(litera r odgrywa tu rolę poprzedniego x), to suma tego szeregu dla wartości 0 różnych od zera będzie równa

(3)

1    .    1—r¹

2    1—2TCOS0+I^-1 [440, (5)] i dąży do 0, gdy r -► 1—0. Tak więc dla 6=£0 uogólnioną sumą szeregu będzie 0. Jeżeli 0 = 0, to szereg (2) ma oczywiście sumę równą + oo; zresztą wyrażenie (3), które w tym przypadku ma postać

~    , dąży także do +oo, gdy r -*■ 1—0.

3) Analogicznie szereg

co

^ sin nO (—w < 0 < jt)

■-i

zbieżny tylko dla

0 lub ±tc prowadzi do szeregu potęgowego

r" sin nO

r sin 0

1—2rcos0+r² [461,(6 (a)], więc suma uogólniona szeregu jest tym razem równa j ctg y 0 dla 0#O i zeru dla 0 = 0.