0359

361

§ 9. Sumowanie szeregów rozbieżnych

Jeżeli parametr x przebiega wartości naturalne m (a zatem co = + oo), to miejsce ciągu funkcji (0) zajmuje nieskończona macierz prostokątna

/oo	hi	t02	t Om
ho	hi	i 12 ...	hm —
ho	hi	tli ...	hm
ho	hi	t„2	hm •••

Za sumę uogólnioną szeregu (A) przyjmuje się granicę dla rn -*■ oo ciągu o wyrazach

Aq iom    /|m + ■■■ “1“ Ah i Hm "i"    i

przy założeniu, że szereg ten jest zbieżny przynajmniej dla dostatecznie dużych wartości m. Warunki regularności metody przyjmują w tym przypadku postać:

(a)    przy dowolnym ustalonym n

lim t„_m = 0 ;

m*+oo

(b)    dla dostatecznie dużych m

l'»J < K (K = const);

fl«0

(c) wreszcie

lim r„_m = 1 .

>.-0

W istocie wszystkie te idee należą do Toeplitza [porównaj 391], który zakładał — jak czytelnik pamięta — ża macierz jest trójkątna. Najczęściej też wystarczał nam ten przypadek szczególny. Zauważymy jeszcze, że pod ten scehmat podpada bezpośrednio zarówno metoda sumowania Poissona-Abelajak i metoda Borela. W pierwszym przypadku mamy

CO    rry

£    = £ (t —-r)    A„ .

n-=0    rt=0

więc rolę <p„(x) odgrywa czynnik (I —x) xⁿ w obszarze 9C = (0, 1) (tu = I). W drugim przypadku <p„(x) =

= tr* —r w obszarze 9C = (0, + oo), to = + oo. Spełnienie warunków (a), (b), (c) można łatwo spraw-a!

dzić i tym samym udowodnić jeszcze raz regularność tych metod.

Ogólną definicję metody sumowania podaną wyżej można także wysłowić w len sposób, żeby występowały w niej nie sumy częściowe A„, lecz bezpośrednio wyrazy a„ szeregu (A). Nie będziemy się na tym zatrzymywali.