0351

353

§9. Sumowanie szeregów rozbieżnych

Podniesiemy dalej do kwadratu ten szereg. Otrzymujemy szereg

1 — 2+2—3+ ....

którego suma uogólniona otrzymana metodą Poissona-Abela wynosi = (y)². Metodą Cesary szereg ten nie jest sumowalny.

424. Inne metody sumowania uogólnionego szeregów. 1) Metody G. F. Woronoja. Niech będzie dany ciąg liczbowy {p.} i niech

Po = Po, .... Pn = Po+Pi + ... +Pm (n > 0) .

Z sum częściowych A„ szeregu (A) utworzymy wyrażenia

... _ Pm Ao+Pn-l A i+ ... +po A„

■    y.    •

Jeżeli w, -* +, gdy n -*■ oo, to A nazywa się sumą uogólnioną szeregu (A) w sensie Woronoja przy danym ciągu {/>„}.

Liniowość metody, zarówno w tym przypadku, jak i w następnych, jest oczywista i nie będziemy sięgną tym zatrzymywali.

Aby metoda Woronoja była regularna, potrzeba i wystarcza, by

lim = 0.

*-*oo Pm

Konieczność warunku. Załóżmy najpierw, że rozpatrywana metoda jest regularna. Niech z tego, że A, -*■ A, wynika zawsze, te w. -*■ A. Jeśli w szczególności weźmiemy szereg

1 —1+0+0+0+ ...,

którego pierwsza suma częściowa Ao = 1, a pozostałe A_m = 0 (zatem także A = 0), to musi być

w, - P./P. -*■ 0 .

Dostateczność. Załóżmy teraz, że warunek zawarty w twierdzeniu jest spełniony i udowodnimy, że z A, -*• A wynika -*■ A.

Sięgniemy do twierdzenia Toeplitza [391] i zastąpimy w nim x„ przez A„, a przez p„~JP„. Warunek (a) tego twierdzenia jest spełniony, gdyż

t,

Pm—m ^ Pm—m Q

Pm Pm-m

Spełnienie warunków (b) i (c) jest oczywiste, bowiem

ż IO = Ż •"> = ¹ •

M-0    m-0

A zatem w, -+• +, co należało udowodnić.

2) Uogólnione metody Cesary. Poznaliśmy już w ustępie 420 metodę średnich arytmetycznych. Jest ona nąjprostszą spośród nieskończonego ciągu metod sumowania podanych przez Cesarę. Dla ustalonego k wprowadza Cesara ciąg o wyrazach

^s? fe¹) ^a«+ fcy) ^ + - + (:=;) ^

" (r)    (■:•*)

i granicę tego ciągu dla n -*• qo traktuje jako sumę uogólnioną (rzędu k) szeregu (A). Dla k — 1 wracamy do średnich arytmetycznych.

23 Rachunek różniczkowy